牛顿(切线)法求极值在估算水质模型参数中应用

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1、牛顿(切线)法求极值在估算水质模型参数中应用　　摘要：本文根据水环境容量计算条件，建立了适用于中小河河流一维忽略污染物沉降和弥散作用的数学模型。建立了由实测值与模型计算值之差的平方构成的目标函数。通过目标函数，把水质模型参数的估算转变成一个单变量函数求极值的问题。本文采用牛顿(切线)法求极值和计算机技术解决了这个单变量函数求极值问题，解决了在有多排污口存在的河段估算污染物衰减系数K值的难题。该办法的使用提高了水环境容量计算的可靠性和准确度。关键词：牛顿(切线)法；水质模型参数；估算；应用中图分类号：TU991.21文献标识码：A污染物衰减系数是水质模型的重要参数，是水环境容量计算

2、的重要依据。本文提出了利用牛顿(切线)求极值法和计算机技术，解决了有排污口存在的河段污染物衰减系数的估算难题。该方法在山东省小清河中段污染物衰减系数估算中得到了应用，取得了较好效果。一、水质模型的确定6水环境容量计算的设计条件是水质最不利的情况。发生这种条件的河流流量，一般为一定保证率的低流量，这时的水流状态一般为稳定状态均匀流。污染物在中小河流迁移过程中，可忽略污染物的沉降和弥散作用。中小河流水环境容量计算，一般采用的水质模型是稳定状态下一维忽略污染物的沉降和弥散作用数学模型。稳态一维忽略污染物的沉降和弥散作用水质数学模型的基本方程[1]：(1)式中：x-上下断面距离（km），

3、u-河段平均流速（km/d），c-污染物浓度（mg/l），k-污染物衰减系数（l/d）。二、目标函数的建立（一）基本假设监测河段的水流水质状态和入河排污口水量水质变化稳定；污染物质在河流横断面分布均匀，符合一级反应动力学；忽略污染物的沉降、弥散作用；稳定一维均匀河流水质模型的解析解为[1]：c=c0e-kt(2)式中：c-河段下断面污染物浓度（mg/l），c0-河段上断面污染物浓度（mg/l），k--污染物衰减系数（l/d），t-污染物自上断面到下断面的移动时间,d。（二）资料收集按照以上基本假设条件，布设水文水质监测断面，监测、收集资料。水质模型参数估算所需要资料如表1。表1水

4、质模型参数K值估算所需要资料6（三）目标函数的建立由实测值与模型计算值之差的平方，构成目标函数。即目标函数：式中：f(k)—目标函数；k—污染物衰减系数，1/d;i—水质指标实测数;n—排污口个数;Q上i---上断面第i次实测流量(m3/s);Q下i---下断面第i次实测流量(m3/s);C上i---上断面第i次污染浓度(mg/L);C下i---下断面第i次污染浓度(mg/L);A1i—第1个排污口第i次污染浓度(mg/L)；q1i—第1个排污口第i次实测流量(m3/s)；t1i—第1个排污口污染物移动至下断面的时间（d）；Ani—第n个排污口第i次污染浓度(mg/L)；qni—

5、第n个排污口第i次实测流量(m3/s)；ti—污染物从上断面移动至下断面的时间（d）；tni—第n个排污口污染物质移动至下断面的时间（d）；m—各水质指标的实测次数。三、模型参数K值的估算（一）确定模型参数K值的估算公式在目标函数中,K是所需估算的参数.这是一个单变量函数求极值的问题。在无约束条件下，用牛顿（切线）法[2]，求出目标函数中最小值时的参数。为了方便，设y=e-k，则c=c0e-kt,变为c=c0yt,则目标函数变为：6式中符号含义同上。判断标准，一般二次迭代值之差小于或等于0.0001，迭代值接近于最优值。（二）程序设计该问题归结为一个用牛顿（切线）法，求单变量函数

6、极值的问题。程序包括内外两个循环过程。外循环是牛顿（切线）法迭代循环，判断标准为二次迭代值之差小于或等于0.0001；内循环是根据给出的初值或迭代值和m次实测水质、水量资料，计算出f′（y）和f″（y），判别标准是m次实测资料是否全部累加完毕，如果符合判别标准，退出循环。计算完毕，最后一次迭代值就是所求的最优值。（三）参数k值的确定把以上所求的最优值y，通过公式k=-lny转化成k，k值就是所求的污染物衰减系数。四、小清河水质数学模型参数k值估算应用实例（一）概况小清河源于济南诸泉，全长237km，途经淄博、滨州、东营和潍坊等地市。主要接纳济南、淄博等地市污水。主要污染物质是化学

7、耗氧量、挥发酚、氨氮。岔河至博昌桥，相距24km，其间河段顺直，仅有二个较大排污口汇入，且水质水量变化稳定。因此，水质模型参数K值试验，选择岔河至博昌桥作为试验河段。6（二）测验断面的布设和资料的收集在小清河岔河、崔家桥、博昌桥三个断面及朱龙河口排污口、大园排灌站排污口，布设测验断面，实施连续同步水量、水质、水温的监测。岔河至崔家桥距离11.5km，崔家桥至博昌桥12.5km，大园排灌站排污口至博昌桥15.0km，朱龙河排污口至博昌桥12.3km。（三）计算成果通过建立目标函数，