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《大学微积分课件(幻灯片版)备课讲稿.pptx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、定积分第一节定积分的概念与性质abxyoA?曲边梯形由连续曲线yf(x)(f(x)0)、x轴与两条直线xa、xb所围成.实例1(求曲边梯形的面积)一、问题的提出yf(x)曲边梯形如图所示,在区间[a,b]内插入若干个分点,ax0x1x2xn1xnb,oaxi1ixixn1bxyx1把区间[a,b]分成n个小区间[xi1,xi],长度为xixixi1;在每个小区间[xi1,xi]上任取一点,i以[xi1,xi]为底,f(i)为高的小矩形面积为Aif(i)xinAf(i)xii1当分割无限加细,记小区间的最大长度或者(
2、x)xmax{x1,x2,xn}趋近于零(x0或者0)时,曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为Alimf(i)xin0i1实例2(求变速直线运动的路程)设某物体作直线运动,已知速度vv(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数,且v(t)0,求物体在这段时间内所经过的路程思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.(1)分割T1t0t1t2tn1tnT2tititi1siv(i)ti部分路程值某时刻的速度(2
3、)求和nsv(i)tii1max{t1,t2,,tn}(3)取极限slimv(i)tin0i1路程的精确值定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入记xmax{x1,x2,,xn},如果不论对[a,b]若干个分点axxxxxb012n1n把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间的长度依次为xixixi1,(i1,2,),在各小区间上任取一点i(ixi),作乘积f(i)xin并作和Sf(i)xi,i1(i1,2,)二、定积分的定义怎样的分法,也不论在小区间[xi1,
4、xi]上a积分下限f(x)dxIlimf(i)xibn0i1被积函数被积表达式积分变量[a,b]积分区间点i怎样的取法,只要当x0时,和S总趋于确定的极限I,我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为积分上限积分和注意:(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关.abbf(x)dxaf(t)dtaf(u)dub(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的.(3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时,称f(x)在区间[a,b]上可积.当函数f(x)在区间[a,b]上连续时,称f(x)在区间[a,b]上可积.
5、定理1定理2设函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个第一类的间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积.三、存在定理f(x)0,af(x)dxAb曲边梯形的面积f(x)0,af(x)dxA曲边梯形的面积的负值bA1A2A3A4A4A2A3f(x)dxA1ba四、定积分的几何意义几何意义:它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa,xb之间的各部分面积的代数和在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积取负号.例1利用定义计算定积分xdx.102解将[0,1]n等分,分点为xi,(i1,2,,n)ni小区间[xi1,xi]的长度xi取i
6、xi,(i1,2,,n),(i1,2,,n)n1nf(i)xii1ixii1n2xx,i12iinni1n2i1ni2n3i1n161n(n1)(2n1)n31,12116nnx0nxdx102xiin0i1lim2nlim111211.nn63五、定积分的性质证a[f(x)g(x)]dxnblim[f(i)g(i)]xi0i1limf(i)xilimg(i)xinn0i10i
7、1af(x)dxag(x)dx.(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)bbbbb性质1a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx.akf(x)dxkaf(x)dxk(bb为常数).证akf(x)dxlimkf(i)xibn0i1limkf(i)xinni10klimf(i)xi0i1kaf(x)dx.b性质2abcbf(x)dxaf(x)dxcf