向量代数与空间解析几何.docx

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1、.序言：除了级数与三重积分高数下的知识基本都在这里了，而且都是考试必备知识，所以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂！第八章向量代数与空间解析几何r1.平面的点法式方程：设平面过P（x0,yo,z0）,法向量nA,B,C，则平面方程为：Axx0Byy0Czz00ruruur2.平面法向量一般求法：一般法向量n与俩向量n1x1,y1,z1，n2x2,y2,z2rrrrurijkuurnn1n2x1y1z1，如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由x2y2z2，则rurg0nn1ruur求g0nn2第九章

2、多元函数微分学1.二元函数：f(x,y)02.二元函数的极限：limf(x,y)求法与一元基本一致，下判断其存在性：xx0,yy0一般找俩条特殊路线，若二者极限不相等则二重极限不存在，即常取ykx，ykx2等简单路线，若结果与K有关则极限不存在（注意一定要将x给消掉）例.判断下列二重极限是否存在，存在并求其值x2y2yx2limlimx1xy2242（3）lim(1)（1）x0xy（2）x0yy0y0xxxy0解：（1）取ykx，则原式=limkx2=k，与K有关，故极限不存在k2)x21k2x0(1（2）取

3、y2。则原式=limkx4=k，与K有关，故极限不存在kx2)x41k2x0(1k（3）此题无法利用上述方法判断其是否存在，故直接求原式=lim(11)xxy0x1xlim(1x(1)xy1=)=e（用了第二个重要极限）xxy03.二元函数连续性：f(x,y)在p(x,y)连续等价于limf(x,y)f(x0,y0)xx0000yy01/13.4.偏导数求法：对x求则把y看成常数，反之亦然例.ze2xcosy求z,z,2z（2z为二阶偏导）xyxyxy解.z2e2xcosyze2xsinyxy2z(z)2x

4、cosy)x(2e2xsinyxyyy2e5.全微分几个概念间关系①可微函数一定连续（不连续一定不可微）②可微则偏导一定存在（逆命题不成立）且③函数有一阶连续偏导则函数一定可微④偏导不存在一定不可微zzdzdxdy(全微分公式)xyx2y2,22063xy例讨论函数f(x,y)xy在(0,0)是否可微.0,x2y20解.思路：求其在(0,0)点极限是否存在，判断其连续性从而判断其是否可微2limx2y2kx61取决于k，故f(x,y)在(0,0)取ykx63=lim636=3，则x0yxy0xx0kx1k点

5、极限不存在（即使存在若不等于0，该函数在(0,0)点不连续，亦不可微），故f(x,y)在(0,0)点不连续，故函数在(0,0)不可微6.复合函数求导法则：分道相加，连线相乘①中间函数为一元：uu(x),vv(x),zfu(x),v(x)Zu]zvx]Z则dzfgdufgdv其中f可用f1'表示（f对一个变量的偏导）dxudxvdxu同理f可用f'表示，这样就避免了u、v在最后结果中出现了v22/13.例.zxtanx，求dzdx解.zf(u,v)uv，ux，vdzfdufdvf'则ggdxudxvdx1②中间

6、函数为二元：uu(x，y),vtanxf'gsec2x2uxv(x,y),zfu(x,y),v(x,y)Zz]vy则zfgufgvzfgufgv下面举一个特别重要的例子xuxvxyuyvy2例.f具有二阶连续偏导，zf(x2y2,xy)，求zxy解.zf(u,v)，ux2y2，vxy则zfgufgvf'g2xf'gyxuxvx122z(z)f1'guf1'gvf2'guf2'gvx2xf2'yxyyuyvyuyvy2xf11''g2yf12''xf2'yf21''g2yf22''x由于f具有二阶连续偏导，故

7、f12''f21''（f12''表示f1'对第2个变量v的偏导，其他同理）故原式4xyf11''2x2y2f12''f2'xyf22''这种题一定要弄懂！！！7.隐函数微分法①一个方程情形：dyfx'zx',zy'f(x,y)0则fy'，f(x,y,z)0则ffdxxfz'yfz'例.exy2zez0求全微分dz3/13.解.令fxexy2zez则zfx'yexy，zfy'xexyxfz'ez2yfz'ez2故dzzdxzdyyexydxxexydyxyez2ez2②方程组情形（有3个未知量时求的是导数，有4

8、个未知量时求的是偏导）方法：对方程两边同时对x或y或其他变量求（偏）导即可例（1）xyz0求dx，dy（2）u2v20xyu2v20u，vx2y2z21x2y2求dzdzuv0xx解.（1）方程组两边同时对z求导得：dxdy10dxzydzyxdzdzdxdy解得zx2zdy2xg2yg0xydzdzdz（2）方程两边同时对x求偏导得：y2uu2vv0u4xvyux2u2v2xx解得2xvuuv0v