2.3数学归纳法(二)

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1、2.3《数学归纳法》第二课时汾西一中刘惠文：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。注意1.用数学归纳法进行证明时,要

2、分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明回顾多米诺骨牌游戏原理数学归纳法证明步骤(2)假设n=k,时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时猜想成立。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立。——利用相似性,规范二步骤数学归纳法例题所以

3、n=k+1时结论也成立那么求证例1:已知数列计算,根据计算的结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明.例2用数学归纳法证明1）第一步应做什么？此时n0=，左，2）假设n=k时命题成立，即1×4＝41当n=2时，左＝，右＝。2(2＋1)2当n=k时，等式左边共有项，第(k－1)项是。k1×4＋2×7(K－1)×[3(k－1)＋1]思考？3）当n=k+1时，命题的形式是4）此时，左边增加的项是5)从左到右如何变形？证明：（1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是这就是说，当n=k+1时等

4、式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。求证：证明：例3：例:是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.例3.已知x>1，且x0，nN，n2．求证：(1+x)n>1+nx2

5、.假设n=k时，不等式成立，即(1+x)k>1+kx当n=k+1时，因为x>1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立证明：1.当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x0，∴1+2x+x2>1+2x=右∴n=1时不等式成立——小明的爸爸有四个小孩我是一毛我是二毛我是

6、三毛我是谁？我不是四毛！我是小明！三、练习1、用数学归纳法证:(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（）：Ａ.１项Ｂ.项Ｄ.项Ｃ.项Ｃ证明：①当n=1时，左边＝右边＝∴n=1时等式成立。②假设n=k时，命题成立，即那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。小组合作交流这节课你有何收获，能与大家分享、交流你的感受吗？归纳小结，自我整合,激升思维①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；③数学归纳法证题程序化步骤：两个

7、步骤，三个结论；④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。课堂小结数学归纳法1、数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些

8、与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可。如果没有第一步，第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完