2.3_数学归纳法二

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1、2．3数学归纳法二理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤．本节重点：数学归纳法证明不等式与整除问题.本节难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧．(放缩法与加零法)1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取时命题成立．②(归纳递推)假设．第一个值n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立在应用数学归纳法的过程中：第①步，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等．第②步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．这两个步

2、骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的．另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设n＝k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为k>n0就错了．用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化，如证明恒等式和不等式中，n＝1时究竟有几项，从n＝k到n＝k＋1的过渡到底项有哪些变化，添了几项，减了几项．课前热身练习[分析]按照数学归纳法的步骤证明，在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一．[点评]用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳

3、假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．变式1[例2]求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R.[分析]证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决．[证明](1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]

4、＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．由(1)，(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．[点评]①对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．②在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧：a(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1.求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．[证明](1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除．(2)假设当n＝2k－1(k∈N*

5、)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1变式2∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1)由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．

6、1＋2＋3＋4[答案]C[解析]当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.[答案]D[答案]1＋2＋3＋4[解析]当n＝1时，n＋3＝4，所以等式左边为1＋2＋3＋4.8.某个命题与自然数n有关,如果当n=k(k∈N+)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立.现在已知n=5时该命题不成立,那么请判断以下各命题的正确性：(1)n=4时该命题不成立;(2)n=6时该命题不成立;(3)n=1时该命题可能成立;(4)n=6时该命题可能成立.如果n=6时该命题成立,那么对于任意n≥6,该命题都成立.(1)(4)正确,(2)(3)不正确.1.平

7、面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线的交点的个数为:3、证明不等式:作业4.课本P96T，B组第二个再见！数学归纳法证明不等式问题：例1、用数学归纳法证明:证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例2、证明不等式:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=