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1、复变函数与积分变换试题 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题 1． 1-i的幅角是 ；2. 2 Ln的主值是 1f=）f，4．z=0是 z-sinz1 f=的极点；5．，Res[f,∞]=； z4z 二．选择题 1．解析函数f=u+iv的导函数为； f"=ux+iuy；f"=ux-iuy； f"=ux+ivy；f"=uy+ivx. C 2．C是正向圆周z=3，如果函数f=，则fdz=0． 333；；； 2z-2z-2 n cz3．如果级数∑n n=1 ∞ 在z=2点收敛，则级数在
2、 z =-2点条件收敛；z=2i点绝对收敛； 共6页第页 z=1+i点绝对收敛；z=1+2i点一定发散． ４．下列结论正确的是 如果函数f在z0点可导，则f在z0点一定解析； 如果 C fdz=0，则函数f在C所围成的区域内一定解析； 函数 f=u+iv在区域内解析的充分必要条件是 u、v在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是． 1 ∞为sin的可去奇点；∞为sinz的本性奇点； z ∞为 的孤立奇点sinz 1 三．按要求完成下列各题 ．设f=x+axy+by+i是解析函数，求
3、 2 2 2 2 a,b,c,d. 解：因为f解析，由C-R条件 共6页第页 ∂u∂v∂u∂v==-∂x∂y∂y∂x 2x+ay=dx+2yax+2by=-2cx-dy, a=2,d=2,，a=-2c,2b=-d,c=-1,b=-1, 给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 ez dz其中C是正向圆周：．计算C2 z 解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 ez 因为函数f=在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1，分别以z1,z22
4、 z为圆心画互不相交互不包含的小圆 c1,c2 且位于c内 ez C2zdz=C1 ezez2dzdz+C22z ezez =2πi"+2πi zz=12 =2πi z=0 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。 z15 ．dz z=323 解：设f在有限复平面内所有奇点均在：z 共6页第页 z15 z=323dz=-2πiRes[f,∞]----- 11 =2πiRes[f2]---- zz 11f2=zz 115)2 zz 1 2z 111f2=有唯一的孤立
5、奇点z=0,zzz23 11111Res[f2,0]=limzf2=lim=12243 zzzzz→0z→0 z15 ∴dz=2πi-------- z=323 z32 函数f=在扩充复平面上有什么类型的奇 3 点？，如果有极点，请指出它的级.解 z32 f=的奇点为z=k,k=0,±1,±2,±3,，∞3 sinπz）=0的三级零点，z=k,k=0,±1,±2,±3,为z=0 z 3 =3为f的一级极点。 共6页第页 z=2,-3,±4，为f的三级极点； ∞为f的非孤立奇点。 备注：给出全部
6、奇点给5分，其他酌情给分。 1 在以下区域内展开成罗朗级数；2 z 四、将函数f= 0 解：当0 111 f=2=-" z ∞1 ]"=[∑nn]"而[ n=0 =∑nnn-1 n=0 ∞ f=∑n+1nn-2-------6分 n=0 ∞ 当0 111f=2=-2=-2 zzz n z∑n=0 ∞ 共6页第页 =-∑zn-2-------10分 n=0 ∞ 当1 f= 11 = z2z3 z 1n∞1 =∑n+3------14分∑n=0zn=0z ∞
7、1 f=3 z 每步可以酌情给分。 五．用Laplace变换求解常微分方程定解问题： ⎧y""-5y"+4y=e-x ⎨ ⎩y=1=y"=1 解：对y的Laplace 变换记做L，依据Laplace变换性质有 1 …s+1 s2L-s-1-5-1)+4L= 整理得 11 + s-11111 …=-++ 10615s-1151 =++ 10615 L= 1-x5x14x e+e+e…10615 共6页第页 y= 六、求 f=e +∞ -βt 的傅立叶变换，并由此证明： c
8、osωtπ-βt dω=e22⎰0β+ω -βt -iωt 解：F=⎰ee -∞ +∞ dt--------3分 F=⎰e -∞ -iωtβt edt+⎰e-iωte-βtdt +∞ +∞ =⎰e -∞ t dt+
