自动控制原理(胥布工)第二版9章习题及详解.doc

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1、第9章习题及详解9-1试分别写出图9-41中所列典型非线性特性的数学描述式。（a）（b）（c）（d）（e）图9-41习题9-1图解：(a)；(b)；(c)；(d)；(e)或者（e）当，；当，9-2试用解析法求下列系统相轨迹方程的解。（1）29（2）解：（1）相变量方程为相轨迹方程的解为（2）相变量方程为相轨迹方程的解为9-3考虑系统，其中，，试用解析法求该系统的相平面图。`解：引入相变量和改写为相变量方程利用相轨迹微分方程解的公式（9-6）在区间上求定积分得整理得即这是一个以原点为中心的椭圆相轨迹，所描述的运动是周期运动，相轨迹为一簇同心

2、椭圆，椭圆的大小与初始状态有关。因，椭圆的长半轴和短半轴的长度分别为和。299-4试用解析法求非线性系统的相平面图。解：由题知相变量方程为相轨迹方程的解为可分下面三种情况：当，相轨迹方程解为此时相平面图为一组顶点在轴上的双曲线，渐近线为，顶点位置与初始状态相关。当，相轨迹方程为此时相平面图为一组顶点在轴上的双曲线，渐近线为，顶点位置与初始状态相关。29当，相平面图为两条直线，即和整个相平面图如下：9-5试用等倾斜线法绘出下列系统的相平面图。（1）（2）解：（1）等倾斜线满足方程等倾斜线法绘出的系统相平面图为29（2）当时，有，故等倾斜线满

3、足方程注意到是关于的偶函数，相轨迹为轴对称，所以可以在相平面的上半部绘出对应线性系统的相轨迹，然后在相平面的下半部对称绘出相应的相轨迹即可。等倾斜线法绘出的系统相平面图为9-6试判断下列系统是否有奇点，确定奇点类型并画出奇点附近的相轨迹。（1）（2）解：（1）相变量方程为故，即为该系统的奇点。在处对进行泰勒级数展开有29即，其特征方程为，故特征根为，所以奇点为中心点。奇点附近的相轨迹为（2）相变量方程为故，即为该系统的奇点。在处对进行泰勒级数展开有系统在奇点附近线性化后得，其特征方程为，故特征根为所以奇点为不稳定焦点。奇点附近的相轨迹为9

4、-7描述某运动的微分方程为，试根据奇点的性质绘出系统的相平面图。解：由于必有，而意味着对于所有，有。因此，意味着在轴上点均为该系统的奇点。下面对于，分别考虑轴上奇点和两种情况。情况1：对于所有，考虑奇点，用变换将方程在轴上奇点坐标平移到原点，即在处附近展开泰勒级数29故在处附近有，其特征方程的根为因此，对于所有，系统的奇点均为中心点。情况2：对于所有，考虑奇点，用变换将方程在轴上奇点坐标平移到原点，即在处附近展开泰勒级数故在处附近有，其特征方程的根为因此，对于所有，系统的奇点均是鞍点。MATLAB仿真后绘制的相平面图为9-8考虑具有继电器

5、非线性的控制系统如图9-42所示，试用分段线性化法求系统在输入信号作用下的相轨迹。图9-42习题9-8图解：系统非线性特性的数学描述为可分成两个区段，相平面上的转换线为。设斜坡输入为。当时，有。由线性环节的微分方程为和，可得区：当时，，相轨迹微分方程为：。定性分析可知：（1）29时，相轨迹斜率为零，是一条直线；（2）时，相轨迹垂直通过轴；（3）上半平面，意味着相轨迹斜率为负；（4）下半平面，时相轨迹斜率为正，时相轨迹斜率为负；（5）相轨迹斜率与无关，所有相轨迹都是某一相轨迹水平移动的结果，因此各相轨迹的形状是一样的；（6）令，等倾斜线方程

6、为平行于轴的水平直线，显然，系统在区无奇点。区：当时，，相轨迹微分方程为：。由可知，区相轨迹与区相轨迹关于原点对称，系统在区无奇点，区的相平面图可按与区原点对称办法绘出，等倾线方程为平行于轴的水平线。系统在输入信号作用下的相轨迹为9-9考虑具有饱和非线性的控制系统如图9-43所示，试用分段线性化法求系统在输入信号作用下的相轨迹。图9-43习题9-9图解：由图可知饱和非线性特性的数学描述为（1）可分三个线性化区段，相平面上的转换线为，而线性环节的微分方程为（2）不失一般地，设阶跃输入为，其中为常数。当时，有，从而。由式（2）和，此时可得（3

7、）I区：因，由式（3）得29（4）相变量方程为（5）相轨迹微分方程为（6）定性分析可知：（1）时，相轨迹斜率为零，是一条直线；（2）时，相轨迹垂直通过轴；（3）上半平面，式（6）意味着相轨迹斜率为负；（4）下半平面，时相轨迹斜率为正，时相轨迹斜率为负；（5）相轨迹斜率与无关，所有相轨迹都是某一相轨迹水平移动的结果，因此各相轨迹的形状是一样的；（6）等倾斜线方程为平行于轴的水平直线（7）显然，系统在I区无奇点。II区：由线性关系和式（3）得（8）相变量方程为（9）系统在II区是标准的线性系统相图，并且满足原点对称条件，奇点在处，等倾斜线方程

8、为过原点的直线（10）系统的特征方程为（11）其特征根为（12）和为一对具有负实部的共轭根，II区存在奇点，相轨迹以振荡方式趋近于稳定焦点。III区：有，则（13）相变量方程为（14）相轨迹微