中考数学专题：最短距离问题分析

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1、卓育文化教育机构2219372022194312最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型

2、，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。AB′Pl几何模型：条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．ABECBD图1模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；OABC图2P（

3、2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；路虽远，行则必至；事虽难，做则必成5卓育文化教育机构2219372022194312．解：（1）的最小值是（2）的最小值是【典型例题分析】ADEPBC1.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．BOA·xy2．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.解：(1)令x=0，得y=2，∴B(0，2)∵∴

4、A(-2，3)(2)证明：ⅰ.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB；ⅱ.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，BOA·xyPH在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB＜AB.∴综合上述：PA-PB≤AB.(3)作直线AB交x轴于点P由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点作AH⊥OP于H∵BO⊥OP∴∠BOP=∠AHP，且∠BPO=∠APH∴△BOP∽△AHP∴由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2即∴OP=4，∴P(4，0)标为．的周长即是．第4题．4.一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．路虽

5、远，行则必至；事虽难，做则必成5卓育文化教育机构2219372022194312（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．解：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4．∴解析式为：y＝－2x＋4；(2)设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC＝PC′．∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2；易得点P的坐标为(0，1)．(亦可作Rt△

6、AOB关于y轴对称的△)5.已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．ACxyBO5题图ACxyBO解：（1）此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.（第24题图）OACxyBEPD设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为路虽远，行则必至；事虽难，做则必成5卓育文化教育机构22193720221943126.如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴

7、于A、B两点，交y轴于点．DOxyBEPAC（1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意知DOxyBEPCP解得，∴抛物线的解析式为（2）设点A（，0），B（，0），则，解得∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90°由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD∴四边形ADBC是平行四边形又

8、∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形（3）延长BC至N，使．