中考数学专题复习最短距离问题分析

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1、2012中考数学专题复习最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段

2、最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。AB′Pl几何模型：条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．ABECBD图1模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；OABC图2P（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；OABPRQ图3（3）如图3，，是内

3、一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．解：（1）的最小值是（2）的最小值是（3）周长的最小值是【典型例题分析】ADEPBC1.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．BOA·xy2．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.解：(1)令x=0，得y=2，∴B(0，2)∵∴A(-2，3)(2)证明：ⅰ.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB；ⅱ.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x

4、轴的交点时，BOA·xyPH在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB＜AB.∴综合上述：PA-PB≤AB.(3)作直线AB交x轴于点P由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点作AH⊥OP于H∵BO⊥OP∴∠BOP=∠AHP，且∠BPO=∠APH∴△BOP∽△AHP∴由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2即∴OP=4，∴P(4，0)yOxPDB3.如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．（1）试证明：无论点运动到何处，总造桥与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点

5、，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．yOxDBPEFM解：（1）∵点是的中点，∴，∴．又∵是的角平分线，∴，∴，∴．（2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求．易知点的坐标为（2，2），故，作，∵是等腰直角三角形，∴，∴点的坐标为（3，3）．∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为．又∵抛物线经过点和点，∴有解得∴抛物线的解析式为．（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点．连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小．∵抛物线的顶点的坐标，

6、点的坐标，设所在直线的解析式为，则有，解得．∴所在直线的解析式为．点满足，解得，故点的坐标为．的周长即是．第4题（4）存在点，使．其坐标是或．4.一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．解：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4．∴解析式为：y＝－2x＋4；(2)设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC＝PC′．∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C

7、′D．连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2；易得点P的坐标为(0，1)．(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)5.已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若