求解电磁场边值问题有限元线性系统新型预条件算法

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1、求解电磁场边值问题有限元线性系统新型预条件算法　　摘要：针对矢量有限元分析三维电磁问题得到的大型复对称且高度非正定的线性系统的求解，提出了一种新型预条件算法N-AINV，其构造是基于复偏移Laplace算子结合带主元补偿的AINV稀疏近似逆算法，该算法能改善系数矩阵特征谱并避免主元崩溃。数值结果表明，提出的新型预条件算法能获得比其它常规预条件法更稳定的求解，并同时有效提高求解效率，缩短仿真用时。关键词：预条件；偏移Laplace；稀疏近似逆；电磁场中图分类号：TP274文献标识码：A文章编号：1

2、009-3044（2013）29-6612-031概述7矢量有限元（FEM）方法被广泛应用于分析三维电磁场边值问题，其分析结果往往产生一个大型稀疏复对称且高度非正定的线性系统，求解此类线性系统目前主流的迭代法是Krylov子空间迭代法。该文将采用一种针对复对称非正定线性系统的对称线性双共轭梯度迭代法（LBCG）[1]，对若干电磁场边值问题进行FEM分析得到的大型线性系统进行迭代求解。考虑到有限元系数矩阵往往具有很差的谱特性，为迭代求解带来求解不稳定、迭代缓慢等诸多困难，因此需要采用预条件技术对系

3、数矩阵谱特性进行改善，从而确保迭代的高效稳定。作为一种分解类的稀疏近似逆技术，AINV[2]能灵活而高效地应用于对系数矩阵的预处理过程，然而，在分解过程中可能遭遇主元崩溃的问题。针对这一问题本文采用了偏移Laplace算子[3]结合主元补偿策略，来构造稳定高效的AINV预条件子。数值算例表明，这样得到的预条件子在对三维电磁问题的有限元方程组的求解上比常规方法更加有效2理论分析本文研究对采用矢量有限元分析以下Helmholtz边值问题进行求解：[?×（μ-1r?×E（r））-k20εrE（r）=-

4、jk0Z0J（r）]（1）边界条件为：[n×E=0].其中，[E]为电场强度，[J（r）]为电流源，k0、Z0为自由空间波数和波阻抗，[εr]、[μr]为相对介电常数和相对磁导率。对（1）式进行有限元分析的结果将产生如下大型复对称且高度非正定的线性系统：[Kx=b.withK∈?n×n，b，x∈?n]（2）为加速求解，须对（2）式两边同乘以一个预条件矩阵M，得到如下形式的复线性系统：[MKx=Mb.withM∈?n×n]（3）7系数矩阵MK将具有比原来的K更好的谱特性。对预条件矩阵M的构造，该文

5、接下来将采用偏移Laplace算子并结合带主元补偿的AINV分解法RAIN的方法来实现，步骤如下：Step1.对原始系数矩阵K施加偏移Laplace算子，得到K的一个合理近似[K]；Step2.对[K]进行RAINV分解，即可得到预条件矩阵M，且M具有形式：[M=ZD-1ZT≈K-1]，其中Z为上三角矩阵，D为对角阵。将以上步骤得到的M代入（3）并采用对称LBCG进行迭代求解，即可解得x。下面给出构造M的详细过程。2.1偏移Laplace算子从有限元离散（1）对应的泛函方程的过程来看，系数矩阵K

6、实际上是由两个部分构成，即：K=R-Q，（[R，Q∈?n×n]）（4）其中，R对应于[?×（μ-1r?×E（r））]项离散的结果，为一半正定矩阵，Q对应于[k20εrE（r）]项离散的结果，为正定矩阵，这样得到的K为高度非正定矩阵。在以往实、虚偏移Laplace算子基础上[4]，我们提出采用复数的偏移的偏移Laplace算子法，其构造如式（5），令：[K=R-ξQ，whereξ=ξ1-jξ2，ξ1，ξ2∈?].（5）7通过调整自定义偏移因子[ξ]，可使得经偏移算子处理后的[K]能具有比K更加正定

7、，在此基础上能构造出更加稳定的预条件子。2.2带主元补偿的AINV算法算法1给出了经典AINV算法：Algorithm1.[1：Letz（0）i=ei（1≤i≤n）2：fori=1，2，...，n-1do3：forj=i，i+1，...，ndo4：p（i-1）j：=kTiz（i-1）j5：enddo6：forj=i+1，...，ndo7：z（i）j：=z（i-1）j-p（i-1）jp（i-1）iz（i-1）i8：zj（t）=0（1≤t≤n）forzj（t）　　这里的非负实数α为补偿门限因子。考虑

8、到有限元离散Helmholtz边值问题得到的系数矩阵中，实部元素的绝对值占主要，（6）中主要采用基于实部的补偿方案。通过上述补偿方案，可使得AINV分解过程能尽可能避免主元崩溃，从而确保分解稳的定性。基于以上方法，可得到一个性能良好的预条件子M，我们称其为新型AINV（N-AINV）预条件子。下一节的数值结果表明其不仅稳定并能有效加速对称LBCG的迭代求解。3数值算例算例1.七级波导带通滤波器传输特性分析[5]，其结构如图1所示。采用矢量FEM进行仿真分析，最终得到一个大型线性系统。采用提出的N