矩阵的特征值培训讲学.ppt

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1、矩阵的特征值2.求法整理(1)式,得特征向量可看成方程组(2)的非零解.特征向量方程组(2)的非零解.特征值转化存在条件确定2总结求矩阵特征值与特征向量的方法:第一步:令求特征值第二步:对于每一个求基础解系,第三步:基础解系的非零线性组合为A对应于的全部特征向量.33.其它相关的概念定义4.2设A为阶方阵,(λ的n次多项式)行列式特征方程的根λ对应的x特征矩阵特征多项式特征方程特征根特征向量43.问题(1)矩阵的特征值是否总存在的?若存在,有多少个?(2)若λ为矩阵A的一个特征值,那么对应于λ的特征向量有多少个?命题1:任一n阶方阵都有n个复特征根.4

2、.有关矩阵特征值与特征向量有下面的结论:命题2:(1)若为的对应于的特征向量,则也为的对应于的特征向量.同为的对应于的特征向量,(2)若与的非零线性组合与则的对应于的特征向量.,也是55.举例例1.求三阶方阵的特征值及特征向量.解(1)先求特征根矩阵A的特征多项式为由得A的特征根61)当时,齐次线性方程组,即的一个基础解系为的全部特征向量为则对应于2)当时,齐次线性方程组,即的一个基础解系为的全部特征向量为则对应于7例2.求三阶方阵的特征值及特征向量.解(1)先求特征根得A的特征根(2)再求特征向量8,即的一个基础解系为2)当时,齐次线性方程组的一个基

3、础解系为的全部特征向量为则对应于1)当时,齐次线性方程组的全部特征向量为则对应于不全为零),即9解10的一个基础解系为的一个基础解系为1)2)11例4.求三阶方阵的特征值及特征向量.解(1)先求特征根得A的特征根12所以任意含三个向量的三维向量组都是它的基础解系,当时,齐次线性方程组,即作为其基础解系.取三维初始单位向量组不全为零)的全部特征向量为则对应于(2)再求特征向量13例5.证明:三角形矩阵的特征值是主对角线上的n个元素.证明:不妨设得A的全部特征值14第五章第一节矩阵的特征值与特征向量15二.特征值与特征向量的基本性质定理4.1n阶方阵有相同

4、的特征值.与它的转置矩阵证明考察它们的特征多项式这说明它们有相同的特征多项式,所以特征值相同.注:A与AT有没有相同的特征向量呢?看下面的例子:设结论:A与AT特征向量不一定相同的.16线性代数讲义第五章第一节矩阵的特征值与特征向量171819定理4.3:n阶方阵A的互异特征值所对应的特征向量组成的特征向量组线性无关.是n阶方阵A的互异特征值,为A的分别对应于的特征向量,即:设线性无关.则20第五章第一节矩阵的特征值与特征向量结论:1)为的特征值.2)为的特征值3)为的特征值.6)若A可逆,为其特征值,则为的特征值,为的特征值。21证明:为证明(4)与

5、(5),考虑特征多项式为其展开式中的一项,则其余的项至多含有(n-2)个主对角线上的元素,即在其余的项中的次数最高为(n-2)所以,的大于(n-2)次的项只能出项在2223例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求(1)2A的特征值,(2)A2的特征值,(3)

6、A

7、.例2.试证:n阶方阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.解定理4.4:若是方阵A的重特征值,则A的属于的特征向量组的秩24三.杂例例1.设矩阵有特征值为求参数a,b的值及解:由得又,一方面另一方面故25例2.已知的一个有特征向量为求参数a,b的值及特征向量所对应的特征值解设为特

8、征向量所对应的特征值,则即解得26例3.设A为四阶方阵,满足条件而且求A的伴随矩阵的一个特征值.解故有一个特征值为又所以得因为所以有一个特征值为于是,274.2相似矩阵一相似矩阵及其性质1.定义定义1.A与B为n阶方阵,若存在一个可逆矩阵使得称A相似于B,记作例如,令则从而282.矩阵相似关系的性质(1)自反性(2)对称性则若(3)传递性若则3.矩阵相似的其它性质则若(1)则若(2)若(3)则而且当它们可逆时,若(4)则294.矩阵相似与特征值的关系定理1若n阶方阵A与B相似,则A与B有相同的特征值.注:逆命题不成立,即A与B有相同的特征值,但A与B不

9、一定相似例如,对于任何可逆矩阵P,推论证明这说明它们有相同的特征多项式,所以特征值相同.30二矩阵可对角化的条件定义:若A相似于一个对角形矩阵,则称A可对角化.定理5.5n阶方阵A相似于对角形矩阵的充要条件为A有n个线性无关的特征向量.31则有设则存在可逆的矩阵P,使即设即因P可逆,有所以都是非零向量,因而都是A的特征向量,是线性无关,并且由P的可逆性知即A有n个线性无关的特征向量.证明32是A的n个线性无关的特征向量,它们所对应设的特征值分别为则有令则有是线性无关,P可逆,因而A相似于对角形矩阵.33推论1设n阶方阵A有n个互异的特征值则注:反之不成

10、立.推论2:若n阶方阵A可以对角化的充要条件为对于每一个的秩是重特征值矩阵34推论2:若n阶方

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