有限元法基础-5等参元与数值积分学习资料.ppt

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1、有限元法基础-5等参元与数值积分5.等参元与数值积分关键概念等(超、次)参变换雅克比矩阵和行列式等参变换的条件等参元的收敛性数值积分高斯积分精确积分减缩积分矩阵的秩零能模式有限元法基础25.1等参变换的概念将局部（自然）坐标中的简单几何形状的单元，转换成总体（物理）坐标中的几何扭曲的单元，必须建立一个坐标变换，即有限元法基础35.1等参变换的概念有限元法基础45.1等参变换的概念有限元法基础55.1等参变换的概念有限元法基础规则化单元：母单元在自然坐标系内(局部)实际单元：子单元在总体坐标系内(整体)利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系65.1等参变

2、换的概念有限元法基础等参变换坐标变换和场函数插值采用相同的节点，m=n,并且采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为等参元。超参变换坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即m>n。这样建立的单元，称为超参元。次参变换坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即m

3、、dΩ、……115.1等参变换的概念有限元法基础由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。125.1等参变换的概念有限元法基础1）导数之间的变换由复合函数求导规则有写成矩阵形式J称为Jacobi矩阵135.1等参变换的概念有限元法基础J的伴随矩阵145.1等参变换的概念有限元法基础由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素155.1等参变换的概念有限元法基础2）体积微元的变换165.1等参变换的概念有限元法基础单元刚度矩阵等效体积力175.1等参变换的概念有限元法基础3）面积微元的变换以为例，185.1等参

4、变换的概念有限元法基础边界面力的变换以为例，195.1等参变换的概念有限元法基础4）对二维问题面元线元205.1等参变换的概念有限元法基础5）面积坐标直边三角形时：215.1等参变换的概念有限元法基础6）体积坐标225.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础等参变换的条件等参变换中，需计算Jacobi矩阵的逆是否存在？存在的条件是这是两个坐标系间一对一变换的条件235.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础以二维情况为例说明1）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反，，顺序相同2）若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处245.2等参变换的条件与收敛性有限元

5、法基础畸变单元举例节点1节点2节点3由于是连续函数，故在1-2边至到2-3边时必有一点，不具备等参变换条件。255.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础畸变单元举例边1-2退化为一个节点在该点处，也不具备等参变换条件。实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，并不会出现奇异性，应用中仍可使用；四边形退化为三角形单元的积分精度较差。265.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础等参单元的收敛性弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性：完备性：场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移和常应变。协调性：单元内部位移连续且满足几何方程，单元间的位移场是连续的。275.2等

6、参变换的条件与收敛性有限元法基础完备性设单元内任一点i的位移场为代入位移插值函数285.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础注意到等参变换295.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础只要Ni满足形函数性质，完备性就得到满足，插值函数能够反映刚体位移和常应变。305.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础协调性单元间边界上的位移场：具有相同的节点和相同的节点数插值函数相同，有连续的位移场插值函数满足315.等参元与数值积分有限元法基础练习题：什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？同样条件可否适用于次参和超参单元？证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单

7、元的Jacobi矩阵是常数矩阵。证明面积坐标的幂函数的积分公式。（提示：利用面积坐标之和等于1的关系消去被积函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。）325.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础有限元方程为单元刚度矩阵为335.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础1）母单元为自然坐标系列坐标变换位移插值Jacobi矩阵应变的计算求B时需建立345.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础单元矩阵计算时355.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础2）母单元为体积坐标系列取L1、L2和L3为独立变量，L4=1-L1-L

8、2-L3单元矩阵计算365.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础2）母单元为体积坐标系列取L1、L