专题九-线性赋范空间与巴拿赫空间g讲课稿.ppt

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1、专题九-线性赋范空间与巴拿赫空间g代数结构最常用距离空间Rn,m,C[a,b],lp,Lp[a,b]完备性范数线性赋范空间线性空间距离线性距离空间巴拿赫空间线性运算按范数连续线性运算按距离连续几何结构线性运算距离空间线性运算按范数连续赋范空间线性运算

2、

3、x

4、

5、=d(x,0)线性运算按距离连续

6、

7、x

8、

9、=d(x,0)又都是线性空间d(x,y)=

10、

11、x-y

12、

13、DFB集合距离线性运算线性空间距离空间集合线性运算距离线性距离空间线性赋范空间代数结构几何结构线性运算按距离连续

14、

15、x

16、

17、=d(x,0)d(x,y)=

18、

19、x-y

20、

21、完备性巴拿赫空间赋范空间范数线性运算按范数连续距离线性运算范数线性运

22、算一、线性空间1线性空间及其举例定义1设X是任一非空集合，若K是一个数域（R或C）如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且x,y,zX,,K,满足：1)x+y=y+x（加法交换律）2)(x+y)+z+x+(x+y)（加法结合律）3)X,使x+=x（零元素存在性）4)x’X,使x+x’=（逆元存在性）5)(x)=x=(x)（数乘结合律）7)(+)x=x+x（元素对数的加法分配律）8)(x+y)=x+y（数对元素的加法分配律）6)1x=x,0x=则称x+y为x与y的和，x为数与x的数乘,称X为线性空间或向量空间(实或复)，X中的

23、元素称为向量。例1欧氏空间Rn是有限维线性空间且满足1)—8)零元逆元例2m是线性空间，lp是线性空间证：零元逆元且满足1)—8)证：例3都是无限维线性空间（或）按通常的函数加法与数乘运算有：（或）（或）零元故都是线性空间证：逆元且满足1)—8)或（）（或）定义2（线性子空间）设X是线性空间，MX，如果x,yM,,K,对于X中的加法和数乘运算，有x+yM,则称M是X的线性子空间。若MX，则称M为X的线性真子空间。定义3（由子集张成的线性子空间）设X是线性空间，MX。定义集合L：称L为由子集MX张成的线性子空间。注：spanM是包含M的最小线性子空间。即若L0

24、也是包含M的线性子空间，必有2线性子空间定义3(有限维线性空间的基和维数)1）e1,e2,…en线性无关;2）xX,x都能由e1,e2,…,en线性表示，即1,2,…,nR,使x=1x1+2x2+…nxn则称e1,e2,…,en为X的一个基底,x1,x2,…,xn为向量关于基底e1,e2,…,en的坐标。称n维线性空间X的维数，而称X为n维线性空间。并记dimX=n。注：1)如果X={},则称X是零维线性空间,这时X没有基。3线性空间的基与维数设X是线性空间,e1,e2,…,enX,如果2)xX,它关于基底e1,e2,…,en的坐标是唯一的。3)任何有限

25、维线性空间的基底都不唯一。n维线性空间中的任何n个线性无关的向量都可以作为X的基底。定义4(无限维线性空间的基)1）e1,e2,…,en,…线性无关;2）xX,x都能由e1,e2,…,en,…线性表示，即1,2,…,n,…R,使x=1e1+2e2+…nen+…则称e1,e2,…,en,…为X的一个基底,x1,x2,…,xn,…为向量关于基底e1,e2,…,en,…的坐标。也称X为无限维线性空间。设X是线性空间,e1,e2,…,en,…X,如果注：1）任何线性空间X{}都有基。2）对于无限维线性空间X，如果e1,e2,…,en,…X线性无关，且X=span

26、{e1,e2,…,en,…},则称e1,e2,…en,…为X的Hamel基。例4n为欧氏空间Rn是n维线性空间。例5C[a,b]是一个无限维线性空间。1）e1=（1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…,en=(0,0,…,1)称为Rn的标准基（或单位坐标基）x=(x1,x2,…,xn)Rn在基e1,e2,…,en下的坐标位x1,x2,…,xn。是Rn的另一组基。函数系1,t,t2,…,tn,…是C[a,b]的一个基底。证：如果C[a,b]是有限维线性空间，维数为n,则1,t,t2,…tnC[a,b]线性相关（任何n+1个n维向量都线性相关。这与1,t,t2,…tn对任何n

27、都线性无关矛盾。例6[a,b]区间上多项式函数的全体构成的集合P[a,b]按照通常的加法和数乘是一个无限维线性空间。证：显然P[a,b]是线性空间。对n,1,t,t2,…tnP[a,b]线性无关，故P[a,b]是无限维空间。x=x(t)P[a,b],都能有1,t,t2,…tn,…线性表示，故1,t,t2,…,tn,…是P[a,b]的一个基底。函数系1,t,t2,…,tn,…是P[a,b]的一个基底。注：函数空间P[a,b]C[a,b]Lp[a,