专题九 线性赋范空间与巴拿赫空间(讲稿).ppt

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1、第三章线性赋范空间与内积空间内积空间+完备性希尔伯特空间线性赋范空间+完备性巴拿赫空间线性空间+内积内积空间线性空间+范数线性赋范空间泛函分析正是把空间的代数结构与几何结构进行结合的研究，才得到了许多有实用价值的结果。线性赋范空间与巴拿赫空间专题九线性赋范空间与巴拿赫空间有限维线性赋范空间—线性代数研究对象无限维线性赋范空间—泛函分析研究对象代数结构最常用距离空间Rn,m,C[a,b],lp,Lp[a,b]完备性范数线性赋范空间线性空间距离线性距离空间巴拿赫空间线性运算按范数连续线性运算按距离连续几何结构线性运算距离空间线性运算按范数连续赋范空间线性运算

2、

3、x

4、

5、

6、=d(x,0)线性运算按距离连续

7、

8、x

9、

10、=d(x,0)又都是线性空间d(x,y)=

11、

12、x-y

13、

14、DFB集合距离线性运算1范数与线性赋范空间一、线性赋范空间与巴拿赫空间定义72由范数诱导的距离定义8范数公理注：——由线性度量空间构造范数使之成为赋范线性空间的方法例8数列空间1）定义1(x,y)满足距离公理，是S上的距离函数故S是距离空间2）S按照通常数列的加法和数乘运算是线性空间3）但距离函数1(x,y)不是由范数诱导的距离：事实上，当

15、

16、1时，3常见空间的范数与距离对照表(1)Rn(2)m(3)lp(4)C[a,b](5)Lp[a,b]例如：4巴拿赫（Banac

17、h)空间定义9完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。因此Rn是Banach空间。定理1设X是线性赋范空间，{xn}、{yn}X,x,yX,{n}R,R如果n,xnx,yny,则有xnx,nxx,xn+ynx+y证n

18、n-

19、0xnx

20、

21、xn-x

22、

23、0yny

24、

25、yn-y

26、

27、0

28、

29、xn-x

30、

31、=

32、

33、

34、

35、xn-x

36、

37、0xnx

38、

39、nx-x

40、

41、=

42、n-

43、

44、

45、x

46、

47、0nxx

48、

49、(xn+yn)-(x+y)

50、

51、=

52、

53、(xn-x)+(yn-y)

54、

55、

56、

57、xn-x

58、

59、+

60、

61、yn-y

62、

63、0xn+y

64、nx+y5线性赋范空间中的极限理论定义10（极限）设X是线性赋范空间，{xn}X,xX。线性赋范空间中线性运算对范数的连续性定理2设X是线性赋范空间，{xn}X,xX.1)如果xnx,则{

65、

66、xn

67、

68、}有界（范数列的有界性）；证1)xnx

69、

70、xn-x

71、

72、0

73、

74、xn

75、

76、

77、

78、xn-x

79、

80、+

81、

82、x

83、

84、

85、

86、x

87、

88、{

89、

90、xn

91、

92、}有界如果xnx,则

93、

94、xn

95、

96、

97、

98、x

99、

100、(范数的连续性，即

101、

102、x

103、

104、是x的连续函数）；2)一方面，

105、

106、xn

107、

108、-

109、

110、x

111、

112、

113、

114、xn-x

115、

116、另一方面，

117、

118、xn

119、

120、-

121、

122、x

123、

124、=

125、

126、xn

127、

128、-

129、

130、x-xn+xn

131、

132、

133、

134、xn

135、

136、

137、-(

138、

139、x-xn

140、

141、+

142、

143、xn

144、

145、)=-

146、

147、xn-x

148、

149、因此

150、

151、

152、xn

153、

154、-

155、

156、x

157、

158、

159、

160、

161、xn-x

162、

163、xnx

164、

165、xn-x

166、

167、0

168、

169、

170、xn

171、

172、-

173、

174、x

175、

176、

177、0

178、

179、xn

180、

181、

182、

183、x

184、

185、定理3设X是线性赋范空间，d是由范数诱导的距离，则对x，y,z0X有.1)平移不变性：d(x+z0,y+z0)=d(x,y)证1)d(x+z0,y+z0)=

186、

187、(x+z0)-(y+z0)

188、

189、=

190、

191、x-y

192、

193、=d(x,y)2)绝对齐次性：d(x,y)=

194、

195、d(x,y)2)d(x,y)=

196、

197、x-y

198、

199、=

200、

201、

202、

203、x-y

204、

205、=

206、

207、d(x,y)设{xn}是线性赋范

208、空间X中的点列，表达式5线性赋范空间中的无穷级数称为X中的无穷级数称为级数的部分和。如果存在sX,使得

209、

210、sn-s

211、

212、0(n),则称级数收敛于s，s称为级数的和，记为如果数项级数收敛，则称级数绝对收敛；当X是巴拿赫空间时，若级数绝对收敛则级数一定收敛。6线性赋范空间中的完备化定义5（线性等距同构）设（X1，1）和（X2，2）是同一数域上的两个线性赋范空间。如果存在一一映射T：X1X2，满足：T(x+y)=T(x)+T(y)，则称X1与X2是线性等距同构的，也称T是从X1到X2的线性等距同构映射。（1）线性：x,yX及，，

213、成立（2）等距：xX，成立Tx2=x1注：两个同构的线性空间可以看作是同一的。定理4（完备化定理）设（X，）是一线性赋范空间，则必存在唯一的巴拿赫空间Y，使X与Y的一个稠密子空间Y1线性等距同构。例如，C[a,b]按范数不完备，其完备化空间是L2[a,b].有限维线性赋范空间是研究无限维空间的有力工具。二、有限维线性赋范空间的特殊性质有限维线性赋范空间具有特殊性质(来自它与欧氏空间的相似性)1n维线性赋范空间的模型（反映了与欧氏空间Rn的关系）定理1n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn（在某种范