利用导数解参数范围的八种策略.doc

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1、巧用导数解参数问题的八种策略张红娟2012.10.18学习收获现以近几年的高考题为例,探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。策略一:分离变量法所谓分离变量法,是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一个范围未知.解决问题的关键:分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后,对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知的范围,求的范围:结论一、不等式恒成立(求

2、解的最小值);不等式恒成立(求解的最大值).结论二、不等式存在解(求解的最大值);不等式存在解(即求解的最小值).案例1、(2009福建卷)若曲线存在垂直于轴的切线,则实数取值范围是_____________.分析:依题意方程在内有解,即案例2、(2008湖北卷)若上是减函数,则的取值范围是()A.B.C.D.分析:由题意可知,在上恒成立,即在上恒成立,由于,所以,案例3、(2008广东卷)设,若函数,有大于零的极值点,则()A.B.C.D.分析:,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,由得.案例4、(2008江苏卷)

3、设函数,若对于任意的都有成立,则实数的值为解:当,则不论取何值,显然成立;当时,可化为,令,则,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此,从而;当时,可化为,在区间上单调递增,因此,从而,综上分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意:(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类;(2)确定是求最大值、最小值还是值域.高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。案例5、(2005湖北卷)已知向量=(,),=(,),若在区间(-1,1)上是增函数,

4、求的取值范围.解析:由向量的数量积定义,=()+()=+++∴=++.若在区间(-1,1)上是增函数,则有≥0≥-在(-1,1)上恒成立.若令=-=-3()-在区间[-1,1]上,==5,故在区间(-1,1)上使≥恒成立,只需≥即可,即≥5.即的取值范围是[5,∞).利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型,是高考命题的一种趋势,它充分体现了高考“能力立意”的思想。对此,复习中不能忽视。案例6、已知函数,若对任意恒有,试确定的取值范围。解:根据题意得:在上恒成立,即:在上恒成立,设,则当时,所以案例7、已知时,不等式恒成立,求的取值范围。解

5、:令,所以原不等式可化为:,要使上式在上恒成立,只须求出在上的最小值即可。策略二:主次元变换法案例1、.(2009北京卷)设函数(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.分析:本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.(Ⅰ)(Ⅱ)题略,对于题(Ⅲ),若借助(Ⅱ)的结论入手,须分两种情况求解,学生不一定能考虑得很全面;通过思考,不妨变换一下主次元,转化为一次函数的问题求解。(Ⅲ)解:由题意即∴又∴的取值范围是.本题通过变换主元的思想,巧妙地

6、应用函数的单调性,避免了对k的讨论,简化了问题的求解。案例2、若不等式对满足的所有都成立,求的取值范围。解:设,对满足的,恒成立,解得:策略三、极值法有些函数问题,若能适时地借助函数的图象,巧妙地利用函数的极值来求解,可使问题豁然开朗。案例1.(07全国卷二)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:解:(1)略.(2)如果有一条切线过点,则存在,使.若过点可作曲线的三条切线,则方程有三个相异的实数根.记,则.当变化时,变化情况如下表:000增函数极大值减函数极小值增函数如果过可作曲线三条切线,即=0有

7、三个相异的实数根,则有即.本题的求解,充分利用函数的极值,把原本复杂的问题转化为极值的正负问题,使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性案例2、(2009陕西卷)已知函数求的单调区间;若在处取得极值,直线y=m与的图象有三个不同的交点,求m的取值范围。解析:(1)略(2)因为在处取得极大值,所以所以由解得。由(1)中的单调性可知,在处取得极大值,在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点,由的单调性可知,案例3.(2008四川卷).已知x=3函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点。(Ⅰ)求a;(Ⅱ)求函数f(x)的

8、单调区间;(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围。分析:(Ⅰ)(Ⅱ)略(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上

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