高等数学的教学课件 1-2（数列的极限）.ppt

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1、第二节数列的极限一、数列极限概念的引入二、整标函数与数列三、数列极限的概念四、有极限数列的性质五、子列及其极限六、小结一、数列极限概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：播放——刘徽正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积二、整标函数与数列定义可看作一动点在数轴上依次取数列的几何表示法:数列对应着数轴上一个点列：例1.写出通项1.有界性如,有界无界注：2.单调性如,是单调增数列都是单调减数列单调减三、数列极限的概念问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,该数值等于多少?播放当

2、n无限增大时,无限接近于1.问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划?我们知：可以要多么小就多么小,看只要n充分大,小到什么要求.度量有极限A的数列也称为收敛于A,没极限称为发散.定义注数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：(1)(2)(3)(4)给出度量考察接近程度套用定义格式下结论例2证典型极限简化证明甚至更简化为例3证例4证典型极限例5证从而四、有极限数列的简单性质性质1(唯一性)若数列有极限，则极限是惟一的.证(反证法)性质2(有界性)证由定义,有界性是数列收敛的必要条件,推论注收敛的数列必定有界.无界数列必

3、定发散.不是充分条件.例6证区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.反证法假设数列收敛，则有唯一极限a存在.但却发散.证毕.性质3（保号性）推论3推论4五、子列及其极限注意：例如，是数列的一个子数列。定理4收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证证毕．由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.一般不能断定原数列的收敛性;仅从某一个子数列的收敛例试证数列不收敛.证因为的奇子数列不收敛.收敛于而偶子数列所以数列收敛于例对数列，若证明：证明：由又由证毕．敛于a.数列的奇子数列和偶子数列

4、均收敛于同一常数a时,则数列也收六、小结作业数列数列极限收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系.研究其变化规律;有界性,唯一性,保号性,小结极限思想,精确定义,几何意义;