更高更妙的物理：专题11-天体运动种种.doc

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1、专题1l天体运动种种卫星、行星、恒星、星团、星系、星系团、超星系团，各种不同层次的天体世界由小到大组成了整个宇宙，宇宙是那么的广袤浩瀚，深邃奇妙，然而，它们又是有序的，一些基本的规律支配着天体星球的种种行为，开普勒三定律描述了星体的运动学规律，牛顿运动定律及万有引力定律更揭示出天体运动的动力学原因。一、牛顿的草图牛顿在说明人造地球卫星原理时画的草图如图所示，在离地面一定高度水平抛出一物体，当初速度较小时，物体沿椭圆曲线落地；当初速度较大时，物体沿椭圆曲线落地，落地点较远；当初速度达到第一宇宙速度时，物体沿圆轨道运行；当初速度大于此值时，物体沿椭圆曲线绕地运行；当初速度等于第

2、二宇宙速度时，物体沿抛物线轨道离开地球不再回来；当初速度大于此速度时，物体沿双曲线离开地球。物体在有心力场中的运动轨迹是圆锥曲线，地球的中心是曲线的焦点，图所示的几条轨道中，圆轨道是一个临界轨道，在以内的椭圆（如），抛出点是椭圆的远地点，在以外的椭圆轨道（如），抛出点是椭圆的近地点。抛物线轨道又是一个临界轨道，在以内的轨道（如、、）是封闭的椭圆，在以外的轨道（如）是不封闭的双曲线。牛顿的这张草图不仅对于任何一个绕地球运行的卫星是适用的，而且对于任何一个绕中心天体运行的星体都是适用的。二、守恒定律支配天体运动最基本的规律当然是万有引力定律、牛顿运动定律和开普勒定律，除此之外，

3、守恒定律也是十分重要的。1、机械能守恒物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守恒．引力是保守力，引力场是势场，在平方反比引力场中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置。如图所示，在质量为的中心天体的引力场中，一质量为的物体由点（距中心）经点、、运动到点（距中心），对它的引力做负功，其大小是如果物体从点运动到无限远，即，引力做负功。可见，令无穷远处为零引力势能位置，物体在距中心天体处的势能是。在上述引力场中，机械能守恒的表达式是恒量。天体运动取何种圆锥曲线取决于其总机械能。以地球卫星为例，当时地球卫星的轨迹为抛物线，此时地球卫星到达离地球无限远处时速度变为零，即刚好能

4、脱离地心引力的束缚，设地球半径为，卫星在地球表面发射时的初速度用表示，有，。此即卫星脱离地心引力束缚所需最小初速度—第二宇宙速度；当时地球卫星的轨迹为椭圆，其中特例是圆，这时有，此即第一宇宙速度—环绕地球运动的最小初速度，而当时，地球卫星沿双曲线脱离地心引力，在离地球无限远时动能仍不为零，这种轨道要求初始时速度满足。牛顿曾证明：一个均匀球壳质量对球壳内物质的万有引力为零，如图所示，球壳半径为，壳内任一位置放质量为的质点，通过质点作两条夹角极小的弦，作为两个顶点相同的圆锥面的母线，两个圆锥面对质点张开的立体角（在时）相同，两个圆锥面与半径为的球面相截所得球壳面积分别是和，两面

5、元法线各沿、方向，两面元的质量各为和，其中为球壳质量面密度，，两面元极小而可看做质点，设两面元到的距离分别为和，那么有，，由几何关系知，两个面元、在垂直、方向的投影面积相等，即，，而，故有。此二力方向相反，合力为零，对球面上其他质量对的力均如此，故整个球壳对球壳内物质的万有引力为零。对于一个质量均匀半径为的实心球，在距球心（）处质点只受半径为的球内质量的万有引力，而以外球壳（即以为外径、为内径的球壳）则对质点无引力的作用。若均匀球质量为，则距球心处所置质点受到引力大小为，显见引力与成正比，质点在距球心（）处具有的引力势能可由引力功求得，即。2、动量守恒两个天体相互作用过程中

6、，如果其他星系离它们很遥远，对它们的作用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一·维方向上的“弹性碰撞”，则相对速度等值反向，如同我们在专题中讨论过的。若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的动量守恒而机械能不守恒。3、角动量守恒在描述物体围绕一定中心的转动情况时，我们常引入角动量的概念，它与描述做平动的物体的运动状态量一（线）动量相当。如图所示，质量为的质点做半径为的圆周运动，其位置可用从圆心到质点的有向线段来表示，矢量称位置矢量，或称矢径。做圆

7、周运动的质点，矢径大小等于轨迹圆半径，方向从圆心指向质点所在位置。质点的线速度矢量为，方向沿切线方向，则质点的（线）动量为，方向总是与矢径垂直，我们定义质点动量大小与矢径大小的乘积为质点对定点（圆心）的角动量，即。当与方向不垂直而成角度时，例如行星绕日在椭圆轨道运动（除经近日点或远日点）时。如图所示，行星在公转轨道任意位置时，动量与矢径成角，此时，行星对点的角动量大小为。即等于动量大小与点到动量矢量的垂直距离的乘积。角动量也是矢量，方向垂直于矢径与动量所在平面，遵守右手螺旋定则，角动量定义的矢量式写作，它表示角动量