高考数学集合总复习-数列的通项、求和.docx

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1、数列的通项与求和答案自主梳理1．(2)累加法　(3)累积法　2.(1)①　na1＋d　倒序相加法　②na1　　③　n2＋n　n2　　2自我检测1．C　2.B　3.B　4.B5．10100　6.145课堂活动区例1　解题导引　已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝··…··a1等方法．解　已知递推可化为－＝，∴－＝，－＝，－＝，…，－＝.将以上(n－1)个式子相加得－＝＋＋＋…＋，∴＝＝

2、1－.∴an＝.变式迁移1　(1)证明　由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an；于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解　由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是－＝，因此数列是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－，所以an＝(3n－1)·2n－2.例2　解题导引　1.利

3、用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．2．一般情况如下，若{an}是等差数列，则＝，＝.此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．解　(1)∵n≥2时，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，两式相减，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)．又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，∴an＋1＝8an(n∈N*)．∴{an}是一个以2为首项，8为公比的等比数列，

4、∴an＝2·8n－1＝23n－2.(2)∵bn＝＝＝(－)，∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)<.∴≥，∴最小正整数m＝7.变式迁移2　解　an＝＝2，∴Sn＝2·[＋＋…＋]＝2·＝.例3　解题导引　1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．2．用乘公比错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．解　(1)由题意得an

5、＝qn，∴bn＝an·log4an＝qn·log4qn＝n·5n·log45，∴Sn＝(1×5＋2×52＋…＋n×5n)log45，设Tn＝1×5＋2×52＋…＋n×5n，①则5Tn＝1×52＋2×53＋…＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②①－②得－4Tn＝5＋52＋53＋…＋5n－n×5n＋1＝－n×5n＋1，∴Tn＝(4n×5n－5n＋1)，Sn＝(4n×5n－5n＋1)log45.(2)∵bn＝anlog4an＝nnlog4，∴bn＋1－bn＝(n＋1)n＋1log4－nnlog4＝nlog4>0，∵n>0，log4<0，∴－<0，∴n

6、>14，即n≥15时，bn

7、a1＋a2＋…＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3×(1＋4＋…＋48)＝1＋3×＝1＋49－1＝49.∴log4S10＝log449＝9.7．－10解析　依题意得，a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝，所以数列周期为4，S26＝6×(1－2－1＋)＋1－2＝－10.8．2n＋1－2解析　依题意，有a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，所有的代数式相加得an－a1＝2n－2，即an＝2n，所以Sn＝2n＋1－2.9．解　f(x)＝x2－

8、2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8.…………………………………………………………………(3分)(1)由题意，an＝n＋1，