高等数学题集第二章.doc

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1、三、典型例题解析例1　设在处可导，求．分析所求极限与的定义式子很相似，则由的定义即可求解．解====．错误解答令，则，==（1）==．（2）错解分析式（1）用到在点的导数；式（2）用到在点连续．但是题目只是给出在处可导的条件，而在的邻域内是否可导以及在处是否连续都未知．所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立．例2　设，其中在上有定义且在点处可导．试求．分析求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，但在本题中函数的可导性未知，故只能用定义来求．解当时，=====．所以=．当时，，．综上所述，=．例3设函数，其中的一阶导函数有界．

2、求．分析求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数的可导性未知，故只能用定义来求．解　由于，则有．又===,所以=．错误解答因为，，所以=．错解分析此解法错误的根源在于的一阶导函数有界并不能保证二阶可导．而上述求解却要用到．注　此题用到如下结论：a．有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b．可导必连续．例4　设的一阶导数在处连续且，则（）．A．在处的二阶导数不存在．B．一定存在．C．．D．．解因为，所以，由于在处连续，故．又因为，所以．选C．例5设在的某个邻域内有定义，、为该邻域内任意两点且

3、满足条件：（1）；（2）．试证在上述邻域内．分析此处无法用求导公式和求导法则证明．由于的表达式未给出，故只能考虑从定义出发．如果用条件（2），则需先求出．证明因为在的某个邻域内有定义，记该邻域为，则对任意、，有．令，则．于是对任意，当及时，考虑下列极限=====，故，．例6（04研）　设函数连续，且，则存在，使得（）．A．在内单调增加．B．在内单调减少．C．对任意的有．D．对任意的有．解　由导数定义知．根据极限的保号性，知存在，当时，有．因此当时，有；当时，有，故选C．注函数只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论．

4、例7　设不恒为零的奇函数在处可导．试说明为函数的哪一类间断点．解　由题设知，令可得．则==，于是在处有极限．从而是的可去间断点．例8设函数可导，，则是在处可导的（）．A．充分必要条件．B．充分条件但非必要条件．C．必要条件但非充分条件．D．既非充分条件又非必要条件．分析　表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要考虑函数的左右导数．解由导数定义，知，，可见存在，即故选A．例9（01研）　设，则在点可导的充要条件为（）．A．存在．B．存在．C．存在．D．存在．分析本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号．解注意到，且．如果存在．则

5、．所以A成立只保证存在，而不是存在的充分条件．如果存在，则，故B是存在的充要条件．对于C，，注意到，所以若存在，则由右边推知左边极限存在且为零．若左边极限存在，则由知上式左边极限可能不存在，故可能不存在．至于D，，若存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在．而左边存在，不能保证右边拆项后极限也分别存在．故选B．例10（99研）　设，其中是有界函数，则在处（）．A．极限不存在．B．可导．C．连续但不可导．D．极限存在但不连续．解由于===，===，故选B．例11已知在处可导且．求．分析题目条件是在处可导，必然有在处连续，从而可知该极限属于型．解在处可导．则且当充分大时．

6、故=====．注此题用到当时，．例12讨论函数的可导性．分析的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上为分段函数．解法1　由可得或．由得．于是，可求得，因为==，=，所以，即在处可导．而==，==，则在处不可导．综上所述在处不可导，在上均可导．解法2　依题意，是初等函数，且仅在和处可能不可导．故只需讨论在这两点的情形．（1）时，由于，故．（2）时，由于不存在，故只在处不可导，在上均可导．解法3由于，由导数定义可知，在处不可导，而在处一阶可导，因此，在任意点处均可导，再只需考查的可导性．由导数定义可知，仅仅在处不可导，故仅在处不可导，在上均可导．例13设，讨论的可导性．分

7、析　先应求出的表达式．本质上为分段函数．解　由于，则有．显然当或时，函数可导．下面讨论时的可导性．由于===，===，于是，从而可知仅在处不可导．例14（05研）　设函数，则在内（）．A．处处可导．B．恰有一个不可导点．C．恰有两个不可导点．D．至少有三个不可导点．解　由于==易求得，则，，故为不可导点．同理也为不可导点．故选C．例15设的定义域为，其中，，试讨论的可导性．若可导，求其导数．分析　本质上是分段函数即，由此可知需先解出不等式与．解　由即解得，此时．而由即解得，此时．则有且当时，