高等数学题集第四章

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1、三、典型例题解析例1求下列不定积分．（1）．（2）．分析利用幂函数的积分公式求积分时，应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式．解（1）．（2）．例2求．分析将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．解．例3求下列不定积分．（1）．（2）．分析（1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．解（1）．（2）．例4求下列不定积分．（1）．（2）．（3）．分析根据被积函数分子、分母

2、的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解．解（1）．（2）．（3）．例5求下列不定积分．（1）．（2）．（3）．　　　　（4）．分析当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表．解（1）．（2）．（3）．（4）　．例6　求下列不定积分．（1）．　　　　　　　　　　（2）．（）（3）．　　　　　　　　　　（4）．（5）．　　　　　　　　　（6）．（7）．　

3、　　　　　　（8）．（9）．　　　　　　（10）．　　　　　　　（11）．　　分析这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法．解（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．（7）．（8）．（9）．（10）．（11）．注　用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验的积累．而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径．因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标．下面给出常见的12种凑微分的积分类型．（1）；（2）；（3）；适用于求形如的积分，（是自然数）

4、．（4）；适用于求形如的积分，（是自然数）．（5）；适用于求形如的积分，（是自然数）．（6）；适用于求形如是的积分，（是自然数）．（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；例７求下列函数的不定积分：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．分析在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化和差公

5、式等．解（1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出，并与凑成微分，再利用三角恒等式，然后即可积分．．（2）被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式，降低被积函数的幂次．．　（3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式．．　（4）利用三角恒等式及．　．（5）因为，所以．（6）由于，所以．注利用上述方法类似可求下列积分、、、、，请读者自行完成．例８求下列不定积分：（1）．（2）．（3）．分析可充分利用凑微分公式：；或者换元，令．解（1）．（2）解法1,

6、然后用公式，则．解法2．（3）解法1．解法2．解法３　令，，则有．注在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同．验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的．例9求下列不定积分：（1）．（2）．分析在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分．解（1）．（2）．例10求．分析若将积分变形为，则无法积分，但如果考虑到凑出，将被积函数变形为，再将与结合凑成，则问题即

7、可解决．解．例11求．分析　仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知．解．例12（04研）已知，且，则．分析　先求，再求．解令，即，从而．故，由，得，所以．例13求．分析　被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换．解法１．解法2令，则．解法３令，则，，，则．例14求．分析被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一．解设，即，，则例15求．分析被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数

8、．解令，，则．例16解　令，即，，则．例17求．分析被积函数中含有根式，可用三角代换消去根式．解设，，则．注1对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形．注2在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论．对三角代换，只要把角限制在到，则不论什么三角函数都取正值，避免了正负号的