高三数学能力拓展题.doc

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1、高三数学能力拓展题（2）2013/8/17一：选择题（5分一题，每题只有一个正确选项）1．函数的定义域是R，其图象关于直线和点(2，0)都对称，，则________．A．6B．8C．10D．－42．已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________．A．6B．8C．10D．43．已知定义在R上的奇函数，满足且在区间[0，2]上是增函数，若方程在区间[－8，8]上有四个不同的根，，，，则________．A．6B．－8C．10D．－44．定义域为R的函数f(x)＝若关于x的函数h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋有5

2、个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12＋x22＋x32＋x42＋x52等于________．A．5B．15C．10D．245.当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．A．k≤1B．k≤-1C．0

3、＋2)④f(x＋3)是奇函数8.若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.三．解答题（每题12分）9．已知函数，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．（1）求，的值；（2）不等式在∈[－1，1]上恒成立，求实数的取值范围；（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．10.已知函数，．（1）求在区间[，]上的最大值；（2）是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．11．设各项均为正数的数列的前项和为，已知，数列是公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式(用，表示)；（2）设为实数

4、，对满足且的任意正整数，，，不等式都成立．求证：的最大值为．12．已知在数列中，+d(>0)．（1）若求并猜测；（2）若是等比数列，且是等差数列，求满足的条件．高三数学能力拓展题（2）答案解析2013/8/17一：选择题（5分一题，每题只有一个正确选项）1．【答案】D解析：函数图象关于直线对称，则，函数图象关于点(2，0)对称，则，∴，∴，∴，又，2．【答案】D解析：AB＝2，直线AB的方程为，在上取点C（，），点C到直线AB的距离为，，，此方程有四个解．3．【答案】B解析：因为定义在R上的奇函数，满足，所以，对是奇函数，函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期

5、的周期函数，又因为在区间[0，2]上是增函数，所以在区间[－2，0]上也是增函数．如图所示，那么方程在区间[－8，8]上有四个不同的根，，，，不妨设．由对称性知，，所以4．【答案】B解析：假设关于t的方程t2＋bt＋＝0不存在t＝1的根，则使h(x)＝0的f(x)的值也不为1，而显然方程f(x)＝k且k≠1的根最多有两个，而h(x)是关于f(x)的二次函数，因此方程h(x)＝0的零点最多有四个，与已知矛盾，可见t＝1时t2＋bt＋＝0，即得b＝－，所以h(x)＝f2(x)－f(x)＋＝(f(x)－1)(2f(x)－1)，而方程f(x)－1＝0的解为x＝0,1,2，方程2f

6、(x)－1＝0的解为x＝－1,3，由此可见五根分别为－1，0,1,2,3，因此直接计算得上述五数的平方和为15.答案：155.【答案】A解析：当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin≥kx.答案：k≤16．【答案】C解析：α∈(，)，α－∈(0，)，又cos(α－)＝，∴sin(α－)＝.∵β∈(0，)，∴＋β∈(，π)．∵sin(＋β)＝，∴cos

7、(＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－)＋(＋β)]＝－cos(α－)·cos(＋β)＋sin(α－)·sin(＋β)＝－×(－)＋×＝，即sin(α＋β)＝.二．填空题（每题5分）7.解析：∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．答案：④8.解