高一数学(人教新课标A版)指数函数与对数函数的关系.doc

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1、指数函数与对数函数的关系　　　　　　　　　　　　　撰稿：江用科　　　审稿：严春梅　　　责编：丁会敏一、目标认知学习目标　　理解反函数的概念、互为反函数的图象间的关系；　　指数函数与对数函数互为反函数的关系.重点　　反函数的概念及互为反函数图象间的关系.难点　　反函数概念.二、知识要点梳理知识点一、反函数的概念及互为反函数两函数间的关系1.反函数概念：　　当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.函数的反函数通常用表示.　

2、　要点诠释：　　(1)对于任意一个函数，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个　　　函数才存在反函数；　　(2)反函数也是函数，因为它符合函数的定义.2.互为反函数的图象关系：　　关于直线对称；3.互为反函数的定义域和值域关系：　　反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.4.求反函数的方法步骤：　　(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；　　(2)由原函数y=f(x)反解出x=f-1(y)；　　(3)交换x,y改写成y=f-1(x)；　　(4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域.知识点二

3、、指数函数与对数函数的关系　　指数函数与对数函数互为反函数.　定义定义域值域图象性质指数函数y=ax(a>0且a≠1)叫指数函数(-∞，+∞)(0，+∞)(1)图象过点(0，1)(2)a>1，当x>0，y>1；当x=0，y=1；当x<0时00，01。(3)a>1，y=ax为增函数；00且a≠1)叫对数函数(0，+∞)(-∞，+∞)(1)图象过点(1，0)(2)a>1时，当x>1，y>0；当x=1

4、，y=0；当00；当x=1，y=0；当x>1，y<0.(3)a>1，y=logax为增函数；0ax>dx>cx　　(2)　　　　　　　　①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx

5、　　　则有：0logbx>0>logcx>logdx三、规律方法指导　　互为反函数与的图象关于直线y=x对称.可知：　　1．函数的图象关于直线y=x对称；　　2．点A(m，n)在函数的反函数的图象上A(m，n)关于直线y=x的对称点　　　B(n，m)在的图象上.经典例题透析类型一、求函数的反函数　　1．已知f(x)=(0≤x≤4)，求f(x)的反函数.　　思路点拨：这里

6、要先求f(x)的范围(值域).　　解：∵0≤x≤4，∴0≤x2≤16，9≤25-x2≤25，∴3≤y≤5，　　　　∵y=，y2=25-x2，∴x2=25-y2.∵0≤x≤4，∴x=(3≤y≤5)　　　　将x，y互换，∴f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).　　2．已知f(x)=，求f-1(x).　　思路点拨：求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.　　解：当x≥0时，y=x+1≥1，∴y∈[1，+∞)，∴f-1(x)=x-1(x≥1)；　　　　当x<0时，y=1-x2<1，∴y∈(-∞，1)，反解x2

7、=1-y，x=-(y<1)，　　　　∴f-1(x)=-(x<1)；　　　　∴综上f-1(x)=.类型二、利用反函数概念解题　　3．已知f(x)=(x≥3)，求f-1(5).　　思路点拨：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.　　解：设f-1(5)=x0，则f(x0)=5，即=5(x0≥3)∴x02+1=5x0-5，x02-5x0+6=0.　　　　解得x0=3或x0=2(舍)，∴f-1(5)=3.　　举一反三：　　【变式1】记函数y=1+3-

8、x的反函数为，则g(10)=()　　A．2　　　B．-2　　　C．3　　　D．-1　　(法一)依题意，函数的反函数y=-log3(x-1)，因此g(10)=-2.　　(法二)依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程1+3-x=10，解得x=-2，即g(10)=-2.答案B.　　4．设点(4，1)既在f(x)=ax2+b(a<0