高一数学(人教新课标a版)指数与指数函数

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1、指数与指数函数            撰稿:江用科   审稿:严春梅   责编:丁会敏一、目标认知学习目标:  1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质  (1)理解n次方根,n次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算;  (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确   进行根式与分数指数幂的互化;  (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.  2.掌握无理指数幂的概念,将指数的取值范围推广到实数集;  3.通过指数范围的扩大,我们要能理解运算的本质,认识到知识之间的联系和转

2、化,认识到符号化思   想的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力;  4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识,能学会透过表面去认清事物的本质;  5.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域;  6.掌握指数函数图象:  (1)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性   质;  (2)掌握底数对指数函数图象的影响;  (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别.  7.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的类型;  8.通过对指数函数的概

3、念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的   思想方法;  9.通过对指数函数的研究,要认识到数学的应用价值,更善于从现实生活中发现问题,解决问题.重点  1.分数指数幂的概念及其运算性质;  2.指数函数的图象和性质.难点  1.根式的概念和分数指数幂的概念;  2.底数的变化对指数函数图象的影响.二、知识要点梳理1.整数指数幂的概念及运算性质(1)整数指数幂的概念  (2)运算法则  ①;  ②;  ③;  ④.2.根式的概念和运算法则(1)n次方根的定义:  若xn=y(n∈N*,n>1,y∈R),则x称为y的

4、n次方根.  n为奇数时,正数y的奇次方根有一个,是正数,记为;负数y的奇次方根有一个,是负数,记为;零的奇次方根为零,记为;  n为偶数时,正数y的偶次方根有两个,记为;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,记为.(2)根式的意义与运算法则    3.分数指数幂的概念和运算法则  为避免讨论,我们约定a>0,n,mN*,且为既约分数,分数指数幂可如下定义:      4.有理数指数幂的运算性质    (1)  (2)  (3)   当a>0,p为无理数时,ap是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.  注意:  (1)根式问题常利用

5、指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算;  (2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如   ;  (3)幂指数不能随便约分.如.5.指数函数(1)定义:  函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,a为常数,函数定义域为R.(2)图象及性质:y=ax 01时图象图象性质①定义域R,值域(0,+∞)②a0=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点③ax=a,即x=1时,y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时,ax>1x>

6、0时,00时,ax>1⑥既不是奇函数,也不是偶函数三、规律方法指导1.指数幂的一般运算步骤:  有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质.在化简运算中,也要注意公式:a2-b2=(a-b)(a+b),(a±b)2=a2±2ab+b2,(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),a3+b3=(a+b)(a2-ab

7、+b2)的运用,能够简化运算.2.指数式大小比较方法  (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.  (2)中间量法  (3)分类讨论法  (4)比较法   比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:   ①若;;;   ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断,或即可.经典例题透析类型一、指数运算、化简、求值  1.计算:  (1);  (2)  (3);  解:(1)原式=;    (2)原式=;    (3)原式=-5+6+4--(3-)=2;  注意:[1]运算顺序(能否应用公式);     [2]指数为

8、负先化正;     [3]根式化为分数指数幂.  举一反三:  【变式1】计算下列各式:  (1);  (2).  解:(1)原式=;    (2)原

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