高一数学(人教新课标a版)指数与指数函数

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1、指数与指数函数　　　　　　　　　　　　撰稿：江用科　　　审稿：严春梅　　　责编：丁会敏一、目标认知学习目标：　　1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质　　(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；　　(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确　　　进行根式与分数指数幂的互化；　　(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.　　2．掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；　　3．通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转

2、化，认识到符号化思　　　想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；　　4．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质；　　5．掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；　　6．掌握指数函数图象：　　(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性　　　质；　　(2)掌握底数对指数函数图象的影响；　　(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．　　7．学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；　　8．通过对指数函数的概

3、念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的　　　思想方法；　　9．通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．重点　　1．分数指数幂的概念及其运算性质；　　2．指数函数的图象和性质.难点　　1．根式的概念和分数指数幂的概念；　　2．底数的变化对指数函数图象的影响.二、知识要点梳理1．整数指数幂的概念及运算性质(1)整数指数幂的概念　　(2)运算法则　　①；　　②；　　③；　　④.2．根式的概念和运算法则(1)n次方根的定义：　　若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的

4、n次方根.　　n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；　　n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.(2)根式的意义与运算法则　　　　3．分数指数幂的概念和运算法则　　为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：　　　　　　4．有理数指数幂的运算性质　　　　(1)　　(2)　　(3)　　　当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.　　注意：　　(1)根式问题常利用

5、指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；　　(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如　　　；　　(3)幂指数不能随便约分.如.5．指数函数(1)定义：　　函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.(2)图象及性质：y=ax　01时图象图象性质①定义域R，值域（0，+∞）②a0=1,即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③ax=a，即x=1时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时，ax>1x>

6、0时，00时，ax>1⑥既不是奇函数，也不是偶函数三、规律方法指导1．指数幂的一般运算步骤：　　有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab

7、＋b2）的运用，能够简化运算.2．指数式大小比较方法　　(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.　　(2)中间量法　　(3)分类讨论法　　(4)比较法　　　比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：　　　①若；；；　　　②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．经典例题透析类型一、指数运算、化简、求值　　1．计算：　　(1)；　　(2)　　(3)；　　解：(1)原式=；　　　　(2)原式=；　　　　(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；　　注意：[1]运算顺序(能否应用公式)；　　　　　[2]指数为

8、负先化正；　　　　　[3]根式化为分数指数幂.　　举一反三：　　【变式1】计算下列各式：　　(1)；　　(2).　　解：(1)原式=；　　　　(2)原