数值分析方法第三章.ppt

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1、第二章非线性方程求根/*SolutionsofNonlinearEquations*/求f(x)=0的根2021/7/291求根问题包括下面三个问题：根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有，有几个根？哪儿有根？确定有根区间根的精确化：已知一个根的近似值后，能否将它精确到足够精度？问题的提出方程：y=f(x)方程的根：x=?y=0xy0y=f(x)x=?y=3x-2(x=2/3)y=x2-2x+1(x=1)y=6.7410-3-exp(-5000/x)非线性问题(x1000)2021/7/293科学技术中常遇到高次代数方程或超越方程的求根

2、问题。大于4次的代数方程无求根公式。因此需要研究函数方程求根问题的数值方法。例如：求解高次方程7x6-x3+x-1.5=0的根。ex-cos(x)=0求解含有指数和三角函数的超越方程的根。Why数值计算？根：数值analyticalmethodnumericalmethod无解析方法2021/7/295求实根近似值的常用方法1、二分法2、迭代法3、牛顿法4、弦截法2021/7/296§二分法/*BisectionMethod*/原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。问题求连续函数y=f(x)在区间[a

3、,b]上的唯一实根y=0xyy=f(x)ab分析“实根”两侧f(x)反号“实根”同侧f(x)同号若:f(x1)f(x2)反号，则“实根”在x1和x2之间方法逐步缩小“有根区间”2021/7/2972021/7/29执行步骤1．计算f(x)在有解区间[a,b]端点处的值，f(a)，f(b)。2．计算f(x)在区间中点处的值f(x0)。3．判断若f(x0)=0，则x0即是根，否则检验：（1）若f(x0)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x0]，b1=x0,a1=a;（2）若f(x0)与f(a)同号，则知解位于区间[x0,b]，a1=x0,b1=

4、b。反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：(a,b),(a1,b1),…,(ak,bk),…的一个正的近似解（精确到0.1）x2-2x-1=0-+23f(2)<0，f(3)>020202.2502.37502.375

5、是前一个有根区间长度的一半abx1x2abWhentostop?或不能保证x的精度x*2xx*2021/7/2910误差分析：有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：2021/7/2911第1步产生的有误差①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢2021/7/2912例：求下列方程位于区间[1,1.5]内的一个根2021/7/2913多根的求法运用零点定理可以得到如下逐步搜索法：先确定方程f(x)=0的所有实根所在的区间为[a,b],从x0=a出发,以步长h=(b-a)/n其中

6、n是正整数，在[a,b]内取定节点：xi=x0＋ih(i=0,1,2，……，n)计算f(xi)的值,依据函数值异号及实根的个数确定隔根区间,通过调整步长，总可找到所有隔根区间。yxabo在计算中步长h要适当取小一些,若h过长则容易丢根(若在区间范围内有两相邻函数值符号相同而判定无根)若间隔h值太小,则影响计算速度。“数学”上是正确的，但作为一种“数学方法”，应用于实际的“科学问题”时，不是“放之四海而兼准”的。f(x)在[a,b]上连续f(a)f(b)<0应用二分法求解有(2n+1)个根时例：已知f(x)在[0,)上连续，且f(0)>

7、0，f()<0。欲求x尽可能小的根。求解过程尝试：f(1)>0尝试：f(5)>0尝试：f(10)<0二分法：f(8)=0x0y105但是，实际曲线杜绝教条主义2021/7/2918迭代法迭代法是数值计算中一种典型的重要方法，尤其是计算机的普遍使用，使迭代法的应用更为广泛。所谓迭代法就是用某种收敛于所给问题的精确解的极限过程来逐步逼近的一种计算方法，从而可以用有限个步骤算出精确解的具有指定精度的近似解。简单说迭代法是一种逐步逼近的方法。循环迭代，用上一轮结果计算下一轮数据。§迭代法/*Fixed-PointIteration*/思路20

8、21/7/29192021/7/2920迭代序列收敛2021/7/2921迭代序列发散2021/7/2922说明：①迭代函数不唯一②迭代序列可能收敛，