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《MATLAB_简介_7__数值法求解微分方程及微分方程组.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Matlab解微分方程除了上述的已知ODE外，还须有起始条件y0=y(x0)才能解方程式，即是在x=x0时，y(x)=y0。上述各个方程式的解析解(analyticalsolution)如下：阮奇-库达(Runge-Kutta)方法是最通用的解ODE的方法，它可以依计算精确度的要求有低阶到高阶的各个计算式，MATLAB应用阮奇-库达法的函数有ode23,ode45，其中ode23是同时以二阶及三阶阮奇-库达法求解，而ode45则是以四阶及五阶阮奇-库达法求解。其语法为ode23('dy',x0,xn,y0
2、)，其中dy为ODE中的等式右边的函数（如之前介绍的），x0,xn是要解ODE的区间[x0,xn]的二个端点，y0是起始值(y0=y(x0))。而ode45的语法与ode23相同。例一、要在区间[2,4]解以下的ODE：%m-function,g1.mfunctiondy=g1(x,y)dy=3*x.^2;>>[x,num_y]=ode23('g1',2,4,0.5);>>anl_y=x.^3-7.5;>>plot(x,num_y,'b:',x,anl_y,'r-')>>title('Solutionof
3、g1')>>xlabel('x'),ylabel('y=f(x)'),gridY’=3x2例二、要在区间[0,5]解以下的ODE：%m-function,g2.mfunctiondy=g2(x,y)dy=-0.131*y;>>[x,num_y]=ode23('g2',0,5,4);>>anl_y=4*exp(-0.131*x);>>plot(x,num_y,x,anl_y,'o')>>title('Solutionofg2')>>xlabel('x'),ylabel('y=f(x)'),gridY’=-0
4、.13y例三、要在区间[0,2]解以下的ODE：%m-function,g3.mfunctiondy=g3(x,y)dy=2*x*cos(y)^2;>>[x,num_y]=ode23('g3',0,2,pi/4);>>anl_y=atan(x.*x+1);>>plot(x,num_y,'b:',x,anl_y,'r-')>>title('Solutionofg3')>>xlabel('x'),ylabel('y=f(x)'),gridY’=2xcos2y例四、要在区间[0,3]解以下的ODE：%m-fun
5、ction,g4.mfunctiondy=g4(x,y)dy=3*y+exp(2*x);>>[x,num_y]=ode23('g4',0,3,3);>>anl_y=4*exp(3*x)-exp(2*x);>>plot(x,num_y,x,anl_y,'o')>>title('Solutionofg4')>>xlabel('x'),ylabel('y=f(x)'),griY’=3y+e2x如果将上述方法改以ode45计算，你可能无法察觉出其与ode23的解之间的差异，那是因为我们选的ODE代表的函数分布变化
6、平缓，所以高阶方法就显现不出其优点。不过以二者在计算的误差上做比较，ode45的误差量级会比ode23要小。以下是几个例子：%m-function,g1.mfunctiondy=g1(x,y)dy=3*x.^2;%m-file,odes1.m;%Solveanodeusingode23andode45clg[x1,num_y1]=ode23('g1',2,4,0.5);anl_y1=x1.^3-7.5;error_1=abs(anl_y1-num_y1)./abs(anl_y1);%ode23的计算误差[
7、x2,num_y2]=ode45('g1',2,4,0.5);anl_y2=x2.^3-7.5;%注意x2个数与x1不一定相同error_2=abs(anl_y2-num_y2)./abs(anl_y2);%ode45的计算误差holdonsubplot(2,2,1)plot(x1,num_y1,x1,anl_y1,'o')title('ODE23solution'),ylabel('y')subplot(2,2,2)plot(x1,error_y1)%注意二种方法的误差title('ODE23error
8、'),ylabel('y')%ode23的误差的量级为1.e-16subplot(2,2,3)plot(x2,num_y2,x2,anl_y2,'o')title('ODE45solution'),ylabel('y')subplot(2,2,4)plot(x1,error_y2)title(‘ODE45error’),ylabel(‘y’)%ode45的解没有误差holdoff另一个例子：%m-function,g5.mfu
