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1、第五章MATLAB数值计算（2）1插值与逼近2常微分方程数值求解3非线性方程数值求解插值与逼近插值：在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x)其在某个区间[a,b]上是存在的，但通过观测或测量或实验只能的到在这个区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值y=f(xi)（i=0,1,…,n）或f(x)的函数表达式是已知的，但确很复杂而不便于计算，希望用一个简单的函数来描述它。3假设函数y=f(x)是[a,b]上的实值函数，x0,x1,…,xn是[a,b]上n+1个互异的点，f(x)在这些点上的取值分别为y0,y1,
2、…,yn,求一个确定的函数P(x),使之满足：P(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)(10-5)称x0,x1,…,xn为插值节点，关系式(1)称为插值原则，函数P(x)称为函数y=f(x)的插值函数，区间[a,b]称为插值区间。插值法的概念:要求该多项式的函数曲线要经过y=f(x)上已知的这n+1个点，(x0,y0),(x1,y1),…(xn,yn)。同时在其它上要估计误差R(x)=f(x)-P(x)。45解：设，其中为待定系数。由给定的条件有:联立上式得：于是，6线性插值线性插值也叫两点插值，已知函数y=f(x)在给定互
3、异点x0,x1上的值为y0=f(x0)，y1=f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x)=ax+b使它满足条件P1(x0)=y0P1(x1)=y1（10-6）其几何解释就是一条直线，通过已知点A(x0,y0)，B(x1,y1)。（点斜式）（对称式）P1(x)就是所求的一次多项多，称为f(x)的线性插值多项式。7例：用线性插值求（x*=10.723805）解：设，取x0=100，x1=121则y0=10y1=11从而Matlab(实现)yi=interp1([100121],[1011],115)8逼近用简单的函数p(x
4、)近似地代替函数f(x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f(x)称为被逼近的函数，p(x)称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差或余项。9一致逼近以函数f(x)和p(x)的最大误差作为度量误差f(x)-p(x)的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近，讲得更具体一点，也即对于任意给定的一个小正数>0，如果存在函数p(x)，使不等式成立，则称该函数p(x)在区间[a,b]上一致逼近或均匀逼近于函数f(x)。10平方逼近：如果采用作为度量误差的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼
5、近称为平方逼近或均方逼近。这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。11matlab数值插值1.一维数值插值interp1函数调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,'method')函数根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。X、Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有'linear'(线性插值)、'nearest'(最近插值)、'spline'(三次样条插值)、'cubic'（三次多项式插值），缺省值是'l
6、inear'。例用不同的插值方法计算sin(x)在π/2点的值。这是一个一维插值问题。在MATLAB命令窗口，输入命令：X=0:0.2:pi;Y=sin(X);%给出X、Yinterp1(X,Y,pi/2)%用缺省方法(即线性插值方法)计算sin(π/2)interp1(X,Y,pi/2,'nearest')%用最近方法计算sin(π/2)interp1(X,Y,pi/2,'linear')%用线性方法计算sin(π/2)interp1(X,Y,pi/2,'spline')%用三次样条方法计算sin(π/2)interp1(X
7、,Y,pi/2,'cubic')%用三次多项式方法计算sin(π/2)MATLAB中有一个专门的三次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,'spline')完全相同。例已知检测参数f随时间t的采样结果，用数值插值法计算t=2，7，12，17，22，17，32，37，42，47，52，57时f的值。这是一个一维数值插值问题，命令如下：T=0:5:65;X=2:5:57;F=[3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,523
8、7.9,6152.7,...6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6];F1=interp1(T,F,X)%用线性方法插值F1=interp1(T,F,X,'nearest')%用最近方法插值F1=interp1(T,F,X,'spl
