第二讲复变函数ppt课件.ppt

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1、第二讲1.3平面点集1.4无穷远点及复平面2.1复变函数的概念扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.有限复平面不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面.1.邻域平面上以为心，为半径的圆：内部所有点的集合称为点的—邻域，记为，即称集合为的去心—邻域，记作.2.聚点：如果点z的任何邻域中都含有平面点集E中无穷多个点，那么称z为E的聚点3.内点：若z属于E，且存在z的某一邻域完全含于E，则称z为E的内点。4.开集若集合E中的每一个点均为E的内点，则称E为开集.5.连通集：若E中任意两点，都可用完全属于E的折线连接起来，则称E是连通集.6.区域（或

2、开区域）：连通的开集称为区域或开区域.7.闭区域：开区域E连同它的边界一起，称为闭区域。8.有界区域：若区域E的所有点都包含在一个以原点为中心，某个充分大的正数M为半径的圆内，则称区域E为有界区域。9.无界区域：当M不存在时，则称E为无界区域。例1.7例1.8P.8.1.3.2平面曲线1.简单闭曲线若存在满足，且的，使,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，是一条简单闭曲线（如图1.9）.图1.9在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相

3、交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的，不是简单曲线，但是闭曲线.图1.10图1.112.光滑曲线、分段光滑曲线设曲线的方程为若，在上可导且，连续不全为零，则称曲线为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.3.单连通域、多连通域设D是复平面上一区域，如果在D内任作一条简单闭曲线C，其内部的所有点都在中，则称区域D为单连通区域；否则称D为多连通区域或复连通区域.在几何直观上单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以

4、是由曲线所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.图1.121.4复球面及无穷远点黎曼的奇思妙想：他把复平面的无穷远处看成一个点，并把它加到复数的“行列”中来，复平面就变成了复球面这一奇妙的想法，为复变函数的研究带来了很大的方便。意义：提出了“弯曲空间的几何”的新概念，这种几何学后来成为爱因期坦广义相对论的数学基础。复球面与无穷远点zPN球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。P对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。从几何上可以看出

5、：Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点扩充复平面＝复平面＋约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外等也没有意义。N2.1复变函数的概念定义1设为给定的平面点集，若对于中每一个复数，按着某一确定的法则，总有确定的一个或几个复数与之对应，则称是定义在上的复变函数（复变数是复变数的函数），简称复变函数，记作.其中称为自变量，称为因变量，点集称为函数的定义域.1.3.2映射的概念如果复数和分别用平

6、面和平面上的点表示，则函数在几何上，可以看成是将平面上的定义域变到平面上的函数值域的一个变换或映射，它将内的一点变为内的一点（如图1.13）.图1.13例1将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数.解设，，代入得比较实部与虚部得，见教材P16例题例2将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数，（）化为一个复变函数.解设，，则将，以及代入上式，经整理后，得2.1.2映射的概念如果复数和分别用平面和平面上的点表示，则函数在几何上，可以看成是将平面上的定义域变到平面上的函数值域的一个变换或映射，它将内的一点变为内的一点（如图1.13）.图1.132.1.3

7、反函数与复合函数1.反函数定义2设定义在平面的点集上，函数值集合在平面上.若对任意，在内有确定的与之对应.反过来，若对任意一点，通过法则，总有确定的与之对应，按照函数的定义，在中确定了为的函数，记作，称为函数的反函数，也称为映射的逆映射.2.复合函数定义3设函数的定义域为，函数的定义域为，值域.若对任一，通过有确定的与之对应，从而通过有确定的值与对应，按照函数的定义，在中确定了是的函数，记作，称其为与的复合函数.讲解P16例2.1和例2.22.1.5复变函数的极限定义4设函数在的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数（无论它多么小）总存在正数，使得适合不等式

8、的所有，对应的函数值都满足不等式则称复常数为函数当时