线性代数第二章2-3向量组的线性相关性ppt课件.ppt

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1、第三节向量的线性相关性四、向量组的秩一线性组合三向量组的线性相关性五向量空间的维数课前复习１、定义ｎ个数　　　　　组成的有序数组称为一个ｎ维向量，其中　称为第　个分量（坐标）.记作ｎ维向量写成一行称为行向量，记作ｎ维向量写成一列称为列向量，２、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．4、向量组5、向量空间设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称集合Ｖ为向量空间.3、向量的运算向量的加法与数乘。一

2、、向量的线性相关性1、基本概念定义2.3.1设向量组则向量是向量组A：的一个线性组合，或称向量可由向量组A线性表示．①　若α＝kβ，则称向量α与β成比例．②　零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．③　向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．例1：任一ｎ维向量都是的一个线性组合．显然有n维单位坐标向量组注：例2:证明向量是向量的线性组合,并将线性表示解:先假设即因此由于所以方程组有唯一解,可得于是小结:若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.例如:矩阵A=(aij)mn有n个m维列

3、向量:向量组a1,a2,···,an称为矩阵A的列向量组.向量组1’,2’,···,m’称为矩阵A的行向量组.类似地,矩阵A=(aij)mn有m个n维行向量:线性方程组的向量表示因此线性方程组可写为方程组有没有解的问题转化为向量能否由向量组线性表示.于是注意定义2.3.2则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．三、向量组的线性相关性5:向量组的一个部分组线性相关，那么向量组是线性相关的.例3:已知向量组a1,a2,…,ar线性无关,试证向量组线性无关.证：设则或写成由于线性无关，故上式当且仅当

4、显然，线性无关.所以证:设有x1,x2,x3,使x1b1+x2b2+x3b3=O即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=O,亦即(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=O,因向量组a1,a2,a3线性无关,由于系数行列式故方程组只有零解,即只有因此由定义得,向量组b1,b2,b3线性无关.所以例4:已知向量组a1,a2,a3线性无关,试证向量组b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1线性无关.例5：设证：用反证法。若即(1)而方程组（2）对应于等式线

5、性相关.此与已知矛盾.所以,向量组显然方程组（1）与方程组（2）同解。(1)(2)定理　向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有四、线性相关性的判定故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数　　　　　　使因中至少有一个不为0，不妨设　　　则有即能由其余向量线性表示.证毕.Ａ唯一线性表示.定理2.3.2如果向量组线性无关，而向量组线性相关则α可由证设∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关，∴ｋ

6、≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）∴α可由Ａ线性表示.即有下证唯一性：两式相减有设即表达式唯一.∵Ａ线性无关，例6判断下列命题是否正确：(1)若向量线性相关，则必定可由线性表示；(2)若向量线性无关，且不能由线性表示，则线性无关(3)若向量线性相关，线性相关，则若向量线性相关。例7（定理）设n维向量组证明：线性无关的充分必要条件是行列式必线性相关即：向量的个数大于维数，向量组必线性相关。仅当k1=k2=···=km=0时成立，或齐次线性方程组k11+k22+···+knn=O证明（1）必要性.若向量组

7、1,2,···,n线性无关.则等式由定理1.4.2知,方程组的系数行列式故只有零解。充分性由克拉默法则可知,以上过程反之亦然.必线性相关,则原向量组线性相关.由(1)知,行列式而D是与对应的线性方程组的系数行列式，由克拉默法则可知方程组有唯一解。例8判断下列向量组的线性相关性：解：（1）由则c=-10.其中是互不相同的数，且由例7（1）可知当c=-10时线性相关；否则线性无关。（2）去掉每个向量的后n-m个分量得到m维向量组由于互不相同，范德蒙德行列式所以向量组线性无关；由例5可知：线性无关。小结

8、：判断线性相关性的定理至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示向量组线性相关定理：推论：向量组线性无关任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示(1)(2)n维向量组线性相关定理:推论：n维向量组线性无关(3)则向量组也线性相关。则，向量组也线性无关。若向量组线性相关，定理：若向量组线性无关，定理：部分相关则整体相关整体无关则部分无关(4)定理：n维向量组线性无关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性无关。定理：n维向量组线性相关