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《线性代数第二章向量组的线性相关性ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章 向量组的线性相关性主要内容§1向量的线性关系§2向量组的线性相关性§3向量组的最大无关组与秩§4线性方程组的解的结构§5欧氏空间§1向量的线性关系一、向量及其线性运算定义：n个数a1,a2,…,an所组成的有序数组称为n维向量，记为前者称为行向量，后者称为列向量，这n个数称为向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量，n称为向量的维数。分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．注：本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．所讨论的向量在没有指明是行向量还是列
2、向量时，都当作列向量．本书中，列向量用黑色小写字母a,b,a,b等表示，行向量则用aT,bT,aT,bT表示．向量可视为特殊的矩阵,因此,向量的相等、加减法、数乘等概念完全与矩阵相同.基本单位向量：在n维向量中，称为基本单位向量。二、向量空间1.运算的封闭定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？整数集Z有理数集Q实数集R2.运算的性质n维向量集合Rn关于向量的线性运算具有下列8项运算性质：(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a
3、+θ=a(4)a+(-a)=θ(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=k(la)(8)1a=a其中a,b,g都是n维向量,k,l为实数.3.向量空间的定义定义：设V是n维向量的集合，如果①集合V非空，②集合V对于向量的加法和数乘两种运算封闭，具体地说，就是：若a∈V，b∈V，则a+b∈V．（对加法封闭）若a∈V，l∈R，则la∈V．（对数乘封闭）那么就称集合V为向量空间．例：下列哪些向量组构成向量空间？n维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T
4、x2,…,xn∈R}集合V
5、2={(1,x2,…,xn)T
6、x2,…,xn∈R}解：集合Rn，V1是向量空间，集合V2不是向量空间．例：设a,b为两个已知的n维向量，集合L={la+mb
7、l,m∈R}是一个向量空间吗？解：设x1,x2∈L，k∈R，因为x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b)=(l1+l2)a+(m1+m2)b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L所以，L是一个向量空间．定义：把集合L={la+mb
8、l,m∈R}称为由向量a,b所生成的向量空间，记为L(a,b).一般地，把集合L={l1a1+l2
9、a2+…+lmam
10、l1,l2,...,lm∈R}称为由向量a1,a2,...,am所生成的向量空间,记为L(A)或者L(a1,a2,...,am).三、向量的线性表示定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．当R(A)11、合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．显然，上述线性组合可以写成分块矩阵乘法形式：定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。结论：零向量可由任何非空向量组线性表示。向量组中的每一个向量都可以由向量组本身线性表示。任何一个向量都可以由基本单位向量线性表示。例：设那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合对于任意的n维向量b，必有回顾：线性方程组的表达式一般形式向量
12、方程的形式增广矩阵的形式向量组线性组合的形式方程组有解？向量是否能用线性表示？结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解例将向量b用向量组A=(a1,a2,a3)线性表示，其中：解(1)向量b能由a1,a2,a3线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3线性表示．由行最简形矩阵可得方程组的通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3．（表示式不唯一）可得方程组的解为所以b=4a1+3a2－3a3．
13、（表示式唯一）(2)由可得R(A)=3≠R(A,b)=4，故方程组无解。所以b不能由向量组A=(a1,a2,a3)线性表示．(3)由定义：设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示．若向量组A与向量组B能互相线性表示，则
