2012秋季-线性代数35向量组的线性相关性ppt课件.ppt

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1、3.5向量组的线性相关性教学目的、要求：理解线性相关和线性无关的概念与性质理解极大线性无关组的概念掌握极大线性无关组的性质理解向量组的秩与矩阵秩之间的联系熟练掌握用初等变换法讨论向量组的线性相关性教学重点、难点：向量组线性相关与线性无关的判断极大线性无关组的性质向量组的秩与矩阵秩之间的关系用初等变换法讨论向量组的线性相关性解线性方程组1、问题的提出对应的同解方程组为方程组含有三个方程、五个未知量，由取值，称为自由未知量.x1,x3,x4可以用x2,x5表示：x2,x5可以自1、问题的提出令x2=k,x5=l(k,l为任意值)，因此方程组的一般解为：1、问题的提出问题：

2、1、问题的提出自由未知量是不是只能取x2,x5？如果可以取其它未知量，又该怎么取？取其它自由未知量后通解的形式会变，是否还表示相同的解集合？定义1n个有序的数a1,a2,,an所组成的数组称为n维向量,记为分量全为零的向量称为零向量,记为0(0,0,,0).分量全为实数的向量称为实向量.分量为复数的向量称为复向量.全体n维实向量的集合记为Rn.本课程除特别指明外,一般只讨论实向量.2、n维向量其中ai称为向量的第i个分量(或坐标).例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量(1,2,3,,n)(12i,23i,,n(n1)i)2、n维向量

3、行向量：n维向量写成一行,α(a1,a2,,an)行数为1的矩阵,即1n矩阵列向量：n维向量写成一列列数为1的矩阵,即n1矩阵行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.当未说明是行向量还是列向量时,都当作列向量.2、n维向量行向量和列向量都按矩阵的运算法则来运算.n维向量的加法和数乘:2、n维向量行向量和列向量就是行矩阵和列矩阵.行向量和列向量都按矩阵的运算法则来运算.负向量n维向量的加法和数乘满足以下运算规律:2、n维向量例1计算设求1）2）3α－β.解：α+2β;3α－β＝α+2β＝2、n维向量向　　量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数

4、组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系)3(£n2、n维向量确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量n维向量的实际意义2、n维向量若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组．例如,矩阵可按列分块为n个m维的列向量向量组称为矩阵A的列向量组.3、n维向量、向量组与矩阵向量组称为矩阵A的行向量组.类似地,矩阵A[aij]mn可按行分块为m个n维的行向量3、n维向量、向量组与矩阵反之,含有限个向量的向量组也可以构成一个矩

5、阵.含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．例如m个n维列向量构成nm矩阵:m个n维行向量构成mn矩阵:3、n维向量、向量组与矩阵3、n维向量、向量组与矩阵线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．3、n维向量、向量组与矩阵4、向量组的线性相关性定义2给定向量组若存在一组数使得则称为向量组的线性组合,可由向量组线性表示.即线性方程组有解.或称向量表示并求出表示式例2设证明向量能由向量组线性解：4、向量组的线性相关性即向量能由向量组线性表示设所求问题等价于是否有解即等价于解线性方程组所以线性方程组有解，由例2可知,讨论向量组

6、的线性表示问题,实质上是讨论线性方程组是否有解和求解问题.4、向量组的线性相关性从而得到表达式其中为c任意常数的一般解为：定义3给定向量组若存在不全为零的则称线性相关,使得数否则称线性无关.4、向量组的线性相关性设则讨论向量组线性相关性实质上是讨论齐次线性方程组是否有非零解.4.一个向量线性相关当且仅当即对应分量成比例,几何上讲两向量共线;一个向量线性无关当且仅当5.两个向量线性相关当且仅当空间中三个向量线性相关当且仅当它们共面.4、向量组的线性相关性2.对于任一向量组,不是线性相关就是线性无关.3.含零向量的向量组必定线性相关.向量组线性相关的性质：1.向量组线性无

7、关,只有当12m0时,才有成立.若向量组(I)线性相关,则向量组(II)必线性相关,线性相关,7.设若向量组(II)线性无关,则向量组(I)必线性无关.6.如果线性无关,但能由唯一线性表示.则称(I)为(II)的部分组,(II)称为整体组.8.对于n维向量组量组必定线性相关.则该向如果4、向量组的线性相关性向量组线性相关的性质：定理1向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.其中任何一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.注向量组线性无关的充要条件是4、向量组的线性相关性例3n维向量组线性无关.称为基本(标