计算方法复习重点ppt课件.pptx

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1、一、误差、有效数字定义1绝对误差，简称误差：误差限：相对误差：相对误差限：引论引论定义2，例142.195,0.0375551,8.00033,2.71828,按四舍五入写出上述各数具有四位有效数字的近似数.引论定理１例3解：设取n位有效数字，相对误差限*r=，引论二、数值运算的误差估计引论三、病态问题与条件数引论四、算法的数值稳定性考虑初始数据误差在计算中的传播问题.引论引论五、避免误差危害的若干原则1.避免‘大数’除以‘小数’绝对值太小的数不宜做除数这里分子的误差被扩大104倍,再如若将分母变为0.0011,即分母只有0.0001的变化时,计算结

2、果却有了很大变化2、两个相近的数相减，会严重损失有效数字例如x=1958.75，y=1958.32都具有五位有效数字，但x-y=0.43只有两位有效数字通常采用的方法是改变计算公式,例如当很接近时,由于用右端代替左端公式计算,有效数字就不会损失引论则用右端来代替左端。当x很大时可作相应的变换引论引论３、防止‘大数’吃‘小数’引论六、简化计算步骤，减少运算次数例：x255=xx2x4x8x16x32x64x128原先要做254次乘法现只需14次即可例：如计算多项式p(x)=anxnan-1xn-1…a1xa0的值若直接计算akxk,再逐项相加，一

3、共要做n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法和n次加法引论如果将前n项提出x，则有p(x)=（anxn-1an-1xn-2…a1）xa0=((anxn-2an-1xn-3…a2)xa1）xa0=(…(anxan-1)x…a2)xa1)xa0写成递推公式于是,这种多项式求值的算法称为秦九韶算法,只做n次乘法和n次加法,程序实现简单引论插值法问题的提出函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)或者给出函数表xx0x1x2……xnyy0y1y2……yny=f

4、(x)y=p(x)定理1n次代数插值问题的解是存在且惟一的单项式：拉格朗日插值：a<

5、0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]………f[x1,x2]-f[x0,x1]x2–x0xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]114293N2(7)=1+(7-1)*0.33333+(7-1)*(7-4)*(-0.01667)=2.69992+(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x2]+(x-x0)f[x1,x0]=f(x0)N(x)例2.12已知x=1,4,9的平方根值，求解：例2.14已知f(x)=x7+x4+3x+1求f[20,21,…27]及f[20,21,

6、…27,28]解:由差商与导数之间的关系埃尔米特插值：例6P36例：已知函数y=f(x)的数据如下表所示,求次数不超过三次的Hermite的插值多项式H3(x)使H3(xi)=yi(i=0,1,2)H´3(xi)=y´i分段线性插值三次样条插值：函数逼近正交多项式：勒让德多项式切比雪夫多项式定理6，例3最佳平方逼近用正交函数族求最佳平方逼近最小二乘法：数值积分与数值微分定义（代数精度）设求积公式（4.1）对于一切次数小于等于m的多项式(是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）或)定理n+1个节点的求

7、积公式为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代数精度。牛顿-柯特斯公式：n11/21/221/64/61/631/83/83/81/84………………复化求积公式龙贝格算法：梯形变步长公式P111外推技巧高斯求积公式：根据代数精度求系数和节点余项高斯—勒让德[-1,1]解线性方程组的直接方法高斯消去法列主元素消去法定理方程组系数矩阵的顺序主子式全不为零则高斯消去法能实现方程组的求解。矩阵三角分解：A=LU杜利特尔（Doolittle）分解Ly=b求解yUx=y求解x追赶法：L是单位下三角阵,U是上三角阵,将U再分解平方根法：向量和矩阵的范数：定义（

8、矩阵的范数）如果矩阵的某个非负的实值函数，满足则称是上的一个矩阵范数(或模)