高等数学级数ppt课件.ppt

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1、正项级数及其审敛法交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛小结思考题作业constantterminfiniteseries第二节常数项级数的审敛法第十一章无穷级数11.定义正项级数2.收敛的充要条件单调增加数列这时,只可能有两种情形:positivetermseries正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法定理1(基本定理)注正项级数可以任意加括号,其敛散性不变,对收敛的正项级数,其和也不变.正项级数及其审敛法正项级数收敛部分和所成的数列有界.常数项级数的审敛法例判定的敛散性.解由定理1知,故级数的部分和可与另一个已知敛散性的正

2、项级数比较来确定.正项级数及其审敛法该正项级数收敛.这个例启示我们:判定一个正项级数的敛散性,由于正项级数收敛部分和所成的数列有界.常数项级数的审敛法3.比较审敛法证定理2即部分和数列有界.正项级数及其审敛法则收敛收敛发散发散收敛常数项级数的审敛法不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.发散发散发散推论1(发散)收敛收敛(发散)证解(1)(2)正项级数及其审敛法调和级数发散用比较审敛法发散.常数项级数的审敛法例讨论的收敛性.或(2)将p-级数加括号如下:248^^^它的各项均不大于下述正项级数的对应项正项级数及其审敛法收敛.常数项级

3、数的审敛法这是收敛的等比级数,故由比较判别法知p>1时,p--级数正项级数及其审敛法公比常数项级数的审敛法收敛.(1)几何级数使用正项级数的比较判定法时,常用的比较级数正项级数及其审敛法一些级数的敛散性,作为比较的标准.需要知道(2)p-级数(3)调和级数发散常数项级数的审敛法推论2定理2则收敛收敛发散发散正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法例3讨论下列正项级数的敛散性.解(1)而等比级数收敛.所以,原级数收敛.由比较审敛法解因为而是发散的p-级数.所以,原级数发散.由比较审敛法4.比较审敛法的极限形式定理3正项级数及其审敛法两级数有相同的敛散性

4、;常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法证由比较审敛法的推论,得证.正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法解收敛发散例4判定下列级数的敛散性比较审敛法的极限形式,练习解而级数收敛故级数～收敛.解而级数收敛,例5证略定理4达朗贝尔,1717–1783,法国数学家、力学家、哲学家正项级数及其审敛法5.比值审敛法(达朗贝尔判定法)收敛发散方法失效常数项级数的审敛法比值审敛法的优点:不必找参考级数.由级数本身就能断定敛散性.2.若用比值判别法判定级数发散注3.一旦出现ρ=1要用其它方法判定.级数的通项un不趋于零.后面将用到这一点.或不存在

5、时,正项级数及其审敛法4.条件是充分的,1.适用于的若干连乘积(或商)但非必要.收敛形式.常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法例6讨论级数的敛散性常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法例7讨论级数的敛散性常数项级数的审敛法级数收敛.定理5柯西(Cauchy)(法)1789–1857适用于:以n为指数幂的因子正项级数及其审敛法6.根值审敛法(柯西判别法)收敛发散方法失效常数项级数的审敛法注1.根值法条件是充分的,但非必要.正项级数及其审敛法收敛2.凡涉及证明的命题一般不可用比值法与而只能用比较法.根值法,常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法收敛不存在

6、收敛常数项级数的审敛法