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1、第三章优化设计的某些基本概念和处理§3.1目标函数与约束函数的某些基本性质§3.2 约束函数的集合及其性质§3.3优化设计问题的最优解及其最优性条件§3.4优化设计问题的数值解法及收敛条件.§3.1 目标函数与约束函数的某些基本性质§3.1.1 函数的等值面（或线）：对于可计算的函数f(x)，给定一个设计点X(k)(x1(k),x2(k),…,xn(k))，f(x)总有一个定值c与之对应；而当f(x)取定值c时，则有无限多个设计点X(i)(x1(i),x2(i),…,xn(i))（i=1,2,…）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。当c取c1,c2
2、,…等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。当f(x)是二维时，获得一族等值线族；当f(x)是三维时，获得一族等值面族；当f(x)大于三维时，获得一族超等值面族。.§3.1.1 函数的等值面（或线）：等值线的“心”（以二维为例）一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。.§3.1.1 函数的等值面（或线）：等值线的形状：同心圆族、椭
3、圆族，近似椭圆族；等值线的疏密：沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变化慢。等值线的疏密定性反应函数值变化率。严重非线性函数——病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。.§3.1.2函数的最速下降方向方向导数：二维问题中，f(x1,x2)在X(0)点沿方向s的方向导数为：其中：是X(0)点的梯度。S为s方向的单位向量，。为S的方向角,方向导数为方向余弦。为梯度在方向s上的投影。.§3.1.2函数的最速下降方向梯度的性质：①梯度是X(0)点处最大的方向导数；②梯度的方向是过点的等值线的法线方向；③梯度是X(0)点处的
4、局部性质；④梯度指向函数变化率最大的方向；⑤正梯度方向是函数值最速上升的方向，负梯度方向是函数值最速下降的方向。对于n维问题的梯度.§3.1.3 函数局部近似的表达式和平方函数n维函数f(x)在x(k)点的台劳展开式:二阶近似式：其中：增量ΔX(k)=[Δx1(k),Δx2(k),…,Δxn(k)]T梯度Hesse矩阵Hesse矩阵与正定.§3.1.3 函数局部近似的表达式和平方函数Hesse矩阵的特性：是实对称矩阵。矩阵正定的充要条件：主子式det(ait)＞0当主子式det(ait)≥0时，矩阵半正定det(ait)＜0时，矩阵负定det(ait)≤0
5、时，矩阵半负定Hesse矩阵的正定性：H(x*)正定，是x*为全局极小值点的充分条件；H(x*)半正定,是x*为局部极小值点的充分条件；H(x*)负定，是x*为全局极大值点的充分条件；H(x*)半负定,是x*为局部极大值点的充分条件。正定的二次函数：曲面为椭圆抛物面；等值线族为椭圆曲线族，椭圆中心为极小值点。.§3.1.4 函数的凸性凸集：设D为欧氏空间Rn中X的集合，即D∈Rn,X∈D，若D域内任意两个点x(1)，x(2)的连线上的各点都属于D域，则集合D称为Rn内的一个凸集。否则，为非凸集。凸函数：f(x)是定义在n维欧氏空间中，凸集上的函数，同时x(
6、1)∈D，x(2)∈D，ξ∈[0,1]，当下式成立时，则称f(x)为定义在凸集D上的凸函数。f[ξx(1)+(1-ξ)x(2)]≤ξf(x(1))+(1-ξ)f(x(2))当上式中的≤为＜时，f(x)是严格凸函数。.§3.1.4 函数的凸性判别函数为凸函数的凸性条件：按梯度判断凸性：设f(x)是定义在凸集D上具有连续一阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：对于任意的x(1),x(2)∈D都有成立。按二阶偏导数判断凸性：设f(x)是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：f(x)的Hesse矩阵处处半正定。若
7、Hesse矩阵处处正定，则f(x)为严格凸函数。凸函数的基本性质：若f(x)是定义在凸集D上的严格凸函数，则f(x)在D上的一个极小点，也就是全局最小点。凸函数的线性组合仍然为凸函数。设x(1),x(2)为凸函数f(x)上的两个最小点，则其连线上的任意点也都是最小点。.§3.2 约束函数的集合及其性质§3.2.1 约束集合和可行域约束集合：是指所有不等式约束和等式约束的交集即：由于该集合内所有设计点x都满足全部的约束条件，所以设计可行域可以表示为：其中假设函数gu(x)和h(x)都是连续的。这样，对于一个约束的优化设计问题，由于约束面的存在而把设计空间划分
8、为两个区域：设计可行域和非可行域。可行域内的各点都满足所有的约束条
