2015误差理论与数据处理第五章ppt课件.ppt

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1、第五章参数的最小二乘法估计数学工具关于最小二乘法数据处理↓参数估计↙回归分析↘算术平均值，依据使残差的平方和为最小的原则组合测量的问题拟合经验公式等最小二乘法典型应用最小二乘法发展200多年的历史；天文和大地测量；近代矩阵理论与电子计算机经典的最小二乘法及其在组合测量的应用深入的内容可参阅专门的书籍和文献主要内容最小二乘法原理线性测量方程组中参数的最小二乘法估计非线性测量方程组中参数的最小二乘法估计组合测量第一节　最小二乘法原理从一组测量值中寻找最可信赖值∝测得值　　　　同时出现的概率为最可信赖值满足最可信赖值；P为最大

2、；式中负指数中因子达最小微分法得最可信赖值（1）最小绝对残差和法：小结从一组测量数据中求得最佳结果，还可使用其它原理。例如最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法原理。（3）最小广义极差法：（2）最小最大残差法：主要内容最小二乘法原理线性测量方程组中参数的最小二乘法估计非线性测量方程组中参数的最小二乘法估计组合测量第二节线性测量方程组中参数的最小二乘法估计先举一个实际遇到的测量问题，为精密测定三个电容值:采用的测量方案是，分别等权、独立测得,列出待解的数学模型。这是一个组合测量的问题。第

3、二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量测得值待解的数学模型待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计这是一个超定方程组，即方程个数多于待求量个数，不存在唯一的确定解，事实上，考虑到测量有误差，记它们的测量误差分别为，按最小二乘法原理第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计分别对求偏导数，令它们等于零，得如下的确定

4、性方程组。(x1-0.3)+(x1+x3-0.5)=0(x2+0.4)+(x2+x3+0.3)=0(x1+x3-0.5)+(x2+x3+0.3)=0x1=0.325,x2=-0.425,x3=0.150可求出唯一解第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计以下，一般地讨论线性参数测量方程组的最小二乘解及其精度估计。第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计一、正规方程组第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计设线性测量方程组的一般形式为：第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计即式中，有n个直接测得值，t个待求量

5、。n>t,各等权，无系统误差和粗大误差。第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计上式分别对求偏导数，且令其等于零，经推导得应当满足式中，，分别为如下列向量第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计和分别为如下两列向量的内积：==正规方程组有如下特点：第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计测量方程组系数与正规方程组系数=（1）主对角线系数是测量方程组各列系数的平方和，全为正数。（2）其它系数关于主对角线对称（3）方程个数等于待求

6、量个数，有唯一解。由此可见，线性测量方程组的最小二乘解归结为对线性正规方程组的求解。=二、正规方程组的矩阵形式第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计为了便于进一步讨论问题，下面借助矩阵工具给出正规方程组的矩阵形式。记列向量和n×t阶矩阵第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计则测量方程组可记为：测量残差方程组记为V=L-AX最小二乘原理记为第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计利用矩阵的导数及其性质有第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计令，得正规方程组的矩阵

7、形式。展开系数矩阵和列向量，可得代数形式的正规方程组。当满秩的情形，可求出第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计小　　结第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组含有随机误差矩阵形式第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解不等权第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计三、精度估计第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计对测量数据的最小二乘法处理，其最终结果不仅要给出待求量的最可信赖值，还要确定其可信赖程度，即估计其精度。具体

8、内容包含有两方面：一是估计直接测量结果的精度；二是估计待求量的精度。第二节　线性测量方程组中参数的最小二乘法估计1．直接测量结果的精度估计对t个未知量的线性测量方程组　　　进行n次独立的等精度测量，得其残余误差为　　　　　　；标准偏差　　如果　　服从正态分布，那么　　　服从分布，其自由度n