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《A4-1-4-2不定积分概念,换元积分法-wrmppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4-1不定积分的概念与性质1不定积分与导数求导的反问题----寻找一个可导函数，使它的导函数等于已知的函数。2例定义1：一、原函数与不定积分的概念3原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？4关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）5任意常数积分号被积函数定义2:不定积分的定义被积表达式积分变量6例1求解解例2求7例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求
2、此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为8显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.9微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后求导,则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵消后相差一个常数.10f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线的图形f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族11例4下列各函数是同一函数的原函数吗?分析:因为同一函数的原函数之差是一常数,观察三个三角函数，有可能都化成cosx的形式。请同学们自己化简看看!12是同一函数的
3、原函数.例4下列各函数是同一函数的原函数吗?解：13结论所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致,但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数14实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表15基本积分表是常数);说明：简写为page188161718例5求积分解根据积分公式（2）19证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质20推论若fi(x)(i=1,2,...n)在公共区间I上都有原函数,且ki为常数,则21例5求积
4、分解每一项独立运用积分公式22例6求积分解提示：拆项写成和23例7求积分解提示：拆项写成和24例8求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.用三角形倍角公式化简25例10设p(x)=a0+a1x+...+anxn,求∫p(x)dx解:例112627课堂练习：求下列积分2、1、4、3、5、6、281、2、课堂练习293、4、305、6、31解所求曲线方程为32思考题符号函数在内是否存在原函数？为什么？33思考题解答不存在.假设有原函数故假设错误所以在内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都
5、没有原函数.34基本积分表(page188熟记)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、小结35作业习题4-1page1921.（3）（6）2.（5）（6）（12）（16）（19）（22）5.36Review37**回顾练习答案：1、无穷多,常数；答案：2、全体原函数；答案：3、积分曲线,积分曲线族；38答案：4、平行；答案：5、连续；39基本积分公式表⑴∫dx＝x＋C⑵∫xαdx＝(α≠-1)⑶⑷⑸∫exdx＝ex＋C⑹∫sinxdx＝－cosx＋C⑺∫cosxdx＝sinx＋C⑻∫sec2xd
6、x＝tanx＋C ⑼∫csc2xdx＝－cotx＋C⑽⑾40练习（1）（2）（1）41练习（2）424-2换元法积分43作业习题4-2page2072.（5）（7）（12）（18）（21）（37）（44）44问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法45在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理46第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理147例1求解（一）解（二）解（三）表面看，积分结果不同，但都是正确的。因为这些原函数之间只差一个常数。48例2求解一般
7、地化为49例3求解50例4求解51例5求解52例6求解53例7求解54例8求解55例9求原式56例10求解57例11求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.58例12求解59例13求解（一）（使用了三角函数恒等变形）60解（二）类似地可推出61解例14设求.令62例15求解63问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法64证设为的原函数,令则则有换元公式定理265第二类积分换元公式66例16求解令67例17求解令代入图示关系68例18求解令69说明(1)以上几例所使用
8、的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令70说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令71积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来
