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1、一、曲面及其方程二、常见的二次曲面及其方程三、空间曲线及其方程四、空间曲线在坐标面上的投影五、小结一、曲面及其方程定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程故所求方程为例1求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.二、常见的二次曲面及其方程1.柱面引例分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解在xOy面上，表示圆C,过此点
2、作对任意z,平行z轴的直线l,在圆C上任取一点沿圆周C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间柱面.表示圆柱面其上所有点的坐标都满足此方程,定义2.平行定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,L叫做母线.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xOy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于定义3一条平面曲线2.旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定
3、yOz面上曲线C:则有则有该点转到例2试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解在yOz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例3.求坐标面xOz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．1.椭球面椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.
4、2.抛物面（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面的交线为椭圆.与平面不相交.（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点（3）用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.（与同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo3.双曲面单叶双曲面（1）
5、用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆.图8-3-9与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.截得中心在原点的双曲线.实轴与轴相合，虚轴与轴相合.双曲线的中心都在轴上.与平面的交线为双曲线.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.截痕为一对相交于点的直线.截痕为一对相交于点的直线.（3）用坐标面，与曲面相截单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.双叶双曲面xyo三、空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C2.空间曲线的参数方程空间曲线的参数
6、方程螺旋线的参数方程取时间t为参数，解螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距四、空间曲线在坐标面上的投影1.空间曲线在坐标面上的投影曲线消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：如图:投影曲线的研究过程.交线C的一般方程为解从该方程组中消去变量z，得交线C的投影柱面方程为，所以交线C在XOY面上的投影曲线为例6求曲线在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在面上的投影为所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.（2）因为曲
7、线在平面上，2.空间立体在坐标面上的投影区域解柱面和锥面的交线为消去变量z,得到这是两曲面交线关于XOY面的投影柱面，故立体在XOY面上的投影区域同样可得到该立体在XOZ平面和YOZ平面上的投影区域分别为五、小结1.曲面及方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.常见的二次曲面及方程三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:3.空间曲线三元方程组或参数方程4.求投影曲线(如,圆柱螺线)思考与练习？思考题解答交线方程为在面上的投影为图8-4-
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