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1、§5曲面与空间曲线例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。解：设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是
2、AM
3、=
4、BM
5、由距离公式得一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念：而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，整理得此即所求点的规迹方程，为一平面方程。2.坐标面及与坐标面平行的平面方程：①坐标平面xOy的方程：z=0②过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c③坐
6、标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0;y=0;x=a;y=b3.球面方程：①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。②球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0一般我们将动直线l沿定曲线c平行
7、移动所形成的轨迹称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论：分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。4.母线平行于坐标轴的柱面方程：圆柱面；椭圆柱面；双
8、曲柱面；抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。几种常见柱面：x+y=a平面；4.旋转曲面：一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论：设yOz平面上有一已知曲线c其方程为f(y,z)=0，将c绕z轴旋转一周，所得到的以z轴为轴的放置曲面的方程为：同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面绕y轴为以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕
9、x轴得曲面绕z轴得曲面例3求顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为a的圆锥面方程。解：将yOz面上的直线z=yctg绕z轴旋转一周即得圆锥曲面整理后得：其中a=ctg二.空间曲线及其方程：1.空间曲线的一般方程：空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为称此方程组为曲线c的一般方程。例4：方程组表示怎样的曲线？解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。表示母线平行于Z轴，准线在xoy面上半径为1的上半球面例方程表示怎样曲线解：表示中心在原
10、点，半径为1的圆柱面它们的交线是xoy面上的一个圆，其圆心在，半径为2.空间曲线的参数方程：方程组称为空间中曲线的参数方程。设空间曲线方程如果选定一个适当的函数x=x（x）代入上述方程组并有它解出y=（x），Z=Z（x）得例如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以等角速度绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正方向移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程螺旋线有一个重要性质，当从变到时，Z由变到这说明当转过角时，点沿螺旋线升了高度，即上升的高度与转过角度成正比。三.空间曲线在坐标面上的投影：在该方程组中消去z得H
11、(x,y)=0，此为一个通过曲线L母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲线，简称投影，其方程为同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为和解消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程为3x2+2y2=1例求曲线L：在三个坐标面上的投影曲线投影曲线方程投影曲线方程消去x得Z=1-y2投影曲线方程消去y得3x2+1-2Z=0投影柱面方程为3x2-2Z-1=0投影柱面方程为Z=1-y2的交线是一条空间曲线例两个柱面和例5：求曲线在xOy面上的投影方程。解：
12、上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为从而曲线在xOy面上的投影方程为四二次曲面通过截痕法，了解二次曲面的全貌1.椭球面与三个坐标面的交线均为椭圆若a=b,则旋转椭球面2单叶双曲面Z=h截,截痕为一椭圆。x=h，或y=h截,截痕为一双曲线。2）当时，截痕为一对直线1）当时，曲线为双曲线，实轴平
