基于有限元法的振动分析郑佳文ppt课件.ppt

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1、基于有限元法的振动分析陕西理工学院机械工程郑佳文内容有限元法简介一维单元杆单元梁单元二维单元与平面问题的有限元法三角形单元矩形单元等参单元平面问题的有限元法有限元法简介有限元法是一种可用于精确地(但近似)解决许多复杂的振动问题的数值方法。对于基本的一维元素进行有限元分析，能得到质量矩阵与刚度矩阵和所需的力矢量，对于二维三维，元素矩阵会转换成相关的更高维的空间。使用一致的和集中质量矩阵的有限元方程并结合边界条件能为复杂系统提供解释。当用有限元法来分析时，将梁分解成为梁单元，将各单元相邻的节点处的弹性位移（横向弹性位移和弹性转角）作为问题中的位

2、置量。列子单元质量矩阵单元刚度矩阵集合系统质量矩阵M系统刚度矩阵K梁的有限元模型有限元基本思想讲一个连续弹性体看成是由若干个基本单元在节点彼此相连的组合体；由于单元较小，允许对位移分布规律做出某种假设，基于这一简化假定，回避了弹性力学中的微分方程组难以求解的困难；从而使这一无限自由的连续体问题变成一个有限自由度的离散系统问题。一维单元一杆单元一个杆单元是从杆上划分出的一个小段，如下图所示。由于单元很小，ρ、A均视为常量。现在就以这最简单的杆单元，推导出它的质量、刚度矩阵，等效节点力。图1.2(1)求杆单元上任意点的位移u(x,t)本来，杆单

3、元上任意点的位移u(x,t)与节点的位移u1(t)、u2(t)之间的关系是未知的，但是，只要单元划分的足够小，那么其间的关系就无关大局。所以可以假定它们之间有简单的线性关系，即根据节点位移对单元内任意点位移进行插值：（1）式中，Φ1、Φ2称为线性系数，与单元里点的位置有关，是x的函数。此函数与单元的形状有关，又叫形状函数。形状函数和插值函数一样是任意的，但必须边界条件：只有满足此条件单元才能协调一致运动，而不致破坏系统的完整性，因此这两个条件实际上就是变形协调条件。将式（1）带入（2）中，就可以得到形状函数Φ1(x)、Φ2(x)所满足的边界

4、条件：（2）（3）我们可以用简单的线性函数来近似，因此有：（4）代回（1）式中有：（5）为此，我们已经找到了用节点位移表示单元内任意一点位移的表达式。以上边界条件确定了由于这两个函数的任意性（2）计算此单元的动能和势能杆单元的动能可表示成：（6）上式中，ρ是材料的密度，A是杆单元的横截面积。用矩阵形式表示（6）式为：（7）其中，称为单元广义速度列阵（8）所以，质量矩阵可以认为是：（9）杆单元的势能可以写成：（10）式中，E是弹性模量，（10）表示成矩阵形式为：（11）这里，，所以刚度矩阵[k]可以表示成：（12）(3)计算等效节点力设单元上

5、x处作用有分布力f(x,t)，现在要把它等效成节点力遵循等效原则，即原载荷和等效之后的节点载荷在虚位移上所做的虚功相等。其实，就是对应于广义坐标的广义力，为此，计算所做的虚功：把上式写成矩阵形式：（13）所以等效节点力可以写成：（14）由杆单元组成的系统分析FR划分为三个杆单元，共有4个节点，每个节点处设一个广义坐标，写成一个阵列：u1F12（1）u2u223（2）u3u334（3）u4每个杆单元有两个广义坐标，用列阵U来改写单元微分方程，单元（1）的方程改写为：表示在节点处单元i给单元j的力。单元格（2）：单元格（3）：系统的质量矩阵、刚

6、度矩阵和广义力矩阵当由个单元的广义力列阵叠加成系统广义力列阵F时，由于引入边界条件进行处理，在右端，杆被约束，既不肯能发生位移，式中：为待求的广义坐标列阵为已知的被约束的广义坐标为已知的广义力列阵为待求约束反力二梁单元如下图所示，一个梁单元也是有两个节点，但是有四个自由度，每个节点处，有两种位移形式，一个是线位移，即挠度，一种是角位移。图中，是力，是力矩。是分布载荷是对应的线位移，是对应的转角。是梁单元上任意位移x处的挠度。图12.2在静载弯曲条件下，梁单元上任意点出的挠度是x的三次方程，可写成：此方程必须满足下面的边界条件：由此可以求解处

7、a(t)、b(t)、c(t)、d(t)，进而挠度方程为：（16）（17）（18）上式可以写成形状函数的表示：其中，形函数分别为：梁单元的动能、势能、虚功表达式分别为：（19）式中I是横截面的惯性矩上式中：（20）（21）（22）通过上式，可以得到梁单元的质量、刚度矩阵，等效节点力：平面单元一三角形单元平面三角形单元首先，我们来分析一下三角形单元的力学特性，即建立以单元节点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元e的节点编号为i、j、m，如图3-2所示。由弹性力学平面问题可知，每个节点在其单元平面内的位移可以有两个分量，所以整个三角形单元将有六

8、个节点位移分量，即六个自由度。用列阵可表示为：其中的子矩阵（i，j，m轮换）(a)式中ui、vi是节点i在x轴和y轴方向的位移。(5-7)将位移在x轴和y轴的分量设为u，v，则：