大学文科数学ppt课件.ppt

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1、1-3函数1.3.1函数的概念1.3.2函数的运算1.3.3函数的改变量与差商1.3.4复合运算复合函数1.3.5函数的几种特性1.3.6函数模型1.函数概念因变量自变量定义设数集，则称映射为定义D上的函数，通常简记为对每个,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作f(x),即y=f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域,记作或f(D),即1.3.1函数的概念即D称为定义域,记作函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素:定义域与对应法则f.如果两个函数的定义

2、域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数．例如:对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程给出的对应法则中,附加“”的条件,就可得到一个单值分支表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.定义:点集称为函数的图形.中学已经学过的六类基本初等函数(1)幂函数(是常

3、数)(2)指数函数(3)对数函数(4)三角函数正弦函数余弦函数正切函数(5)反三角函数反正弦函数反余弦函数反正切函数常量函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数六类函数统称为基本初等函数.(6)常量函数y=c反函数的定义:设函数是单射,则它存在逆函数称此映射为函数f的反函数.如:函数是单射,其反函数为若函数f(x)在D上是单调函数,则也是f(D)上的单调函数.DD)(xfy=函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.记反函数常见的几种函数例5函数y=2它的定义域值域它的图形

4、是一条平行于x轴的直线.Oxyy=2例6函数定义域D=(－∞,+∞),值域=[0,+∞).这个函数称为绝对值函数.Oxy1-1xyo例7函数称为符号函数,定义域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[x]表示不超过的最大整数例8取整函数y=[x],如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定义域D=(－∞,+∞),值域=Z.例9设A是一个数集，我们定义称函数为数集A的特征函数，它的定义域为R，而值域由0,1两个数组成（图1-6）.Axy10图1-6例10函数是一个分段

5、函数.它的定义域D=[0,+∞).如:yxO1例11试写出由方程所确定的解由方程……(1)解出y,得或……(2)因此，方程(1)确定了如式(2)所示的y为x的函数.此时，把用方程(1)所表示的y为x的函数称为隐函数；把(2)表示的y为x的函数称为显函数.一般地，当y是x的函数时，若由表示，就称为显函数；若是由方程F(x,y)=0确定，则称为隐函数.1.3.2函数的运算1.3.2.1取绝对值运算def定义域D=R,值域=[0,+∞).例如函数这个函数称为绝对值函数.Oxy1.3.2.2取大（小）运算def类似地，可以定义取小运算min

6、.例如defdef设函数f(x),g(x)的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：和(差)积商1.3.2.3四则运算例13试求两个函数的和、差、积、商，并求f+g,f-g,f﹒g,的定义域.解和差积因为f的定义域为g的定义域为R,所以f+g,f-g,f﹒g的定义域均为商因为而故的定义域为1.3.3函数的改变量与差商定义对于函数当自变量x从变到时，相应地，函数值从变到，则称为变量在点处的改变量，简称自变量的改变量，记为称为函数在点处相应的改变量，简称为函数的改变量，记为改变量也称为增量(或差分),称两个差分与之商为函数在点处的差

7、商.差商的几何意义由可知差商可以表示为函数的改变量是曲线在点与处的纵坐标之差.A、B两点的直线的斜率.函数的差商是曲线上设有两个映射其中则可以确定一个从X到Z的映射,称为复合映射,记作即注意:映射g和f构成复合映射的条件:两者也不同时有意义.并称“。”为函数的复合运算，称复合映射为x的复合函数，记为并称f为外函数，g为内函数.1.3.4复合运算复合函数例4设有映射对每个映射对每个返回注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.如:如:(1)函数的有界性:oyxM-My=f(x

8、)X有界M-MyxoX无界成立，则称函数f(x)在X上有界.否则称为无界.若(2)有界与否是和X有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:使(3)证明无界的方法:对于任意正数M,总存在1.3.5函数的几种特性有(2)函数