《大学文科数学》PPT课件

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1、第一章微积分1.3导数与微分1.3导数与微分主要教学内容：导数与微分的概念，计算高阶导数隐函数的导数与微分分段函数的导数经济学函数的弹性用微分作近似计算二元函数的导数与微分1.3导数与微分导数的概念1.曲线的切线斜率圆的切线：与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线,切线是不能这样定义的．例如下图中右边的曲线在P点处的切线,除P点外还交曲线于Q点。1.3导数与微分为确切表达切线的含义,需应用极限的思想．请看下图1.3导数与微分点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点,点Q(

2、x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点,可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x

3、程是：y−f(x0)=k(x−x0)．因此有必要讨论如k表示的那类极限！1.3导数与微分2.导数的定义定义．设函数y=f(x)在点x0的一个邻域X内(36页下)有定义，y0=f(x0)。如果x∈X−{x0}，我们称Δx=x−x0(Δ读作delta)为自变量的改变量，Δy=f(x)−f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率。如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作．因Δx=x−x0，x=x0+Δx

4、，故还有“函数的平均变化率”是整体（区间）概念；“函数的变化率”是局部（点）概念。此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是注.Δx可正可负，依x大于或小于x0而定．1.3导数与微分1.3导数与微分根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：1.计算函数在自变量x0+Δx处的函数值f(x0+Δx)；2.计算函数的对应改变量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；3.写出函数的差商4.计算x→x0（Δx→0）时的极限，即导数值1.3导数与微分例1.3.1求常数函数y=c的导数．

5、解．因Δy=y(x+Δx)−y(x)=c−c=0，差商此处x可为任意实数，即常数函数y＝ｃ在任意点x处的导数均为0.1.3导数与微分例1.3.2设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的导数．解．因特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数均为1．1.3导数与微分例1.3.3求曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程．解．在上例中取n=3可知函数y＝x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y′(2)=3⋅22=12，故曲线y＝x3在(2,8)处的切线方程是:y−8=12⋅(x−2

6、)，即12x−y−16=0．1.3导数与微分注:(1)一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y′(x)，x∈X．于是y′(x)成为X内有意义的一个新函数，它称为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称为“f(x)的导数”．例如:常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是1，y=xn的导数是nxn-1等等，分别记作c′=0，x′=1，(xn)′=nxn-1等，而不特别指明“在某点的导数”．(2)关于改变量的记号Δ

7、，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体，绝不能把Δx看成Δ与x的乘积，为避免误解，用(Δx)2来表示Δx的平方．导数是局部（点）概念，导函数是整体（定义域内）概念（本质上是点的概念）。但是“导函数”往往又简称为“导数”。1.3导数与微分例1.3.4y=sinx的导数是(sinx)′=cosx，y=cosx的导数是(cosx)′=−sinx．证同理可证，(cosx)′=−sinx．1.3导数与微分例1.3.5y=logax(0

8、分例1.3.6指数函数y=ax(0