《大学文科数学》PPT课件.ppt

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1、第一章微积分1.6定积分主要教学内容：定积分的概念定积分的基本性质微积分基本定理定积分的计算*无穷区间上的反常积分（不讲）2.6定积分§2.6.1定积分概念1.几个典型的定积分问题2.定积分的定义3.定积分的几何意义2.6定积分2.6定积分1.几个典型的定积分问题（1）曲边梯形的面积曲边梯形是由连续曲线及轴，以及两直线所围成，求其面积.矩形面积三角形面积多边形面积2.6定积分(a)基本思想：用矩形的面积近似代替曲边梯形的面积。(b)在[a,b]中插入7个分点，曲边梯形分为8个小曲边梯形，每个小曲边梯形面积都近似用矩形面积代替。2.6定积分曲边梯形的面积≈所有窄条矩形

2、面积之和矩形估计方法2.6定积分a.分割:在区间中任意插入个分点将大曲边梯形分割成个窄条曲边梯形,则对应的窄曲边梯形的面积设在上连续,且.b.取近似:2.6定积分c.作和:d.求极限:记,则注：09年版教材上，极限过程是：所有小区间的长度趋于0.这两种叙述是等价的。2.6定积分曲边梯形的面积=所有窄条矩形面积之和的极限矩形估计方法2.6定积分a.分割:在区间中任意插入个分点b.取近似:c.作和:d.求极限:记,则某物体作变速直线运动,设速度求这段时间内物体经过的路程。记(2)变速直线运动的路程，则对应该时段上的路程2.6定积分上述解决问题的方法有何共性？（1）解决问

3、题的步骤相同（2）所求量的结构式相同分割，取近似作和，求极限2.6定积分此时称在上可积(黎曼可积).2.定积分的定义,作和数定义设函数在上有定义，在中任意插入个分点记任意取记，若只要当时和数总趋于确定的极限,则称极限值为函数在区间上的定积分（黎曼积分），记作,即2.6定积分积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量(黎曼和)积分和2.6定积分（1）定积分定义中的和称为黎曼和，其中（2）从定积分的定义可知，定积分的计算结果是一个数，是任意的，因此极限过程不依赖于与的选取，而且这是与不定积分的最大的区别，于是定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无

4、关,即十分复杂.注：由于定积分是就闭区间而言的，所以定积分描述的是函数的整体性质。2.6定积分（3）数学上可以证明，定积分定义与不定积分定义中的（4）数学上已经证明，闭区间上的连续函数都是可积的。（5）用上述定义很难求定积分的值，为了找出计算定积分的有效方法，牛顿—莱布尼兹（Newton—Leibniz)发现了微积分基本定理。“可积函数”是同一回事。2.6定积分因此,初等函数在其定义域内的任何闭区间上可积,但也存在不可积的非初等函数.可积的必要条件和充分条件:定理2.6.1若函数在上可积,则在上有界（必）;若函数在上连续,则在上必可积（充）.2.6定积分3.定积分的

5、几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和2.6定积分§2.6.2定积分的基本性质定积分的基本性质：设函数均为可积函数，则有性质1即定积分与积分变量的选取无关。性质2从而推出2.6定积分性质3（线性性）性质5特别地，有性质4是常数）当b>a时，积分即为区间长度。2.6定积分性质6（积分区间的可加性)说明:(1)当的相对位置任意时，上式仍成立.例如时,有故(2)可推广到有多个分点的情形.0acbxy2.6定积分§2.6.3微积分基本定理变速直线运动中路程函数与速度函数之间的关系2.微积分基本定理2.6定积分设变速直线运动的速度,则物体在时段上经过的路程

6、另一方面,这段路程又等于路程函数在时段上的增量,即1.变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系已知变速直线运动物体的速度函数，求该物体从时刻到时刻经过的路程。2.6定积分故有即是的一个原函数.又知路程函数与速度函数之间有关系:即我们的问题通过不定积分来解决，但不定积分的结果是无穷多个原函数，选择哪一个？因为2.6定积分这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.这表明差数S(b)-S(a)可用任何一个原函数S(t)+C来计算，都会得到同样的结果。对于一般情形，上述过程正是微积分基本定理。2.6定积分2.微积分基本定理定理2.6.2（微积分基本定理）设是闭区间上

7、连续,且F(x)是在上的一个原函数,则注:（1）上述公式是由Newton和Leibniz同时发现的，因此称为Newton—Leibniz公式。（2）该公式对的情形同样成立.2.6定积分（3）定积分计算求原函数微积分基本公式牛顿-莱布尼兹公式（4）使用Newton—Leibniz公式时要注意验证定理的条件,否则有可能导致错误的结果。2.6定积分关于微积分基本定理:1.等号两边的概念不同(左边是定积分是乘积之和的极限，而右边是不定积分是原函数，是导数和微分运算的逆运算;3.该定理的伟大之处:把微分与积分联系起来了;4.为什么称之为微积分基本定理?2.问题的转化:把定