资源描述：
《椭圆及其标准方程（理）ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章圆锥曲线与方程§1椭圆1.1椭圆及其标准方程椭圆的汽车徽标月球的运行轨道椭圆的盘子椭圆的镜子篮球在阳光下的投影从这些图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形.而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么如何确切的描述椭圆呢？我们能否动手画一个椭圆呢？探究点1椭圆的定义对于篮球在阳光下的投影，把太阳光看成一束平行光，如图所示，照射在篮球上的平行光线抽象为一个斜放的圆柱，篮球面抽象为一个球面，球心记作O1，篮球面与地面的接触点抽象为球与平面的切点F1，影子恰好是圆柱面被平面斜截的截面，截面的边界线称为
2、椭圆.O1F1对于上图所示的几何模型，把圆柱面延伸，在截面下面也放一个与圆柱面和截面都相切，且同样大的球，球心记作O2,该球与截面的切点为F2，如图所示.O2F2F1O1两个球与圆柱面的切点分别构成了两个圆，圆心分别是球心O1O2，若P为椭圆上一点，过点P作圆柱的母线，分别交O1O2于A,B两点，则PA,PF1是球O1的切线段，所以PA=PF1，同理PB,PF2是球O2的切线段，所以PB=PF2，因此，PF1+PF2=AB.又AB=O1O2，由此可以发现椭圆上的点到两切点的距离之和是定值O1O2.O1F1F2O2动
3、手操作：将一条细绳的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.提示：圆思考1将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点F1，F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？M结论：笔尖画出的轨迹是椭圆.思考2：在画椭圆的过程中，(1)细绳的两端的位置是固定的还是运动的？提示：固定的.(2)绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？提示：没变化。保持笔尖到两定点的距离和不变.(3)绳子长度与两
4、定点距离大小有怎样的关系？提示：三点M，F1，F2不共线时，构成三角形，两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点距离.椭圆的定义：椭圆的定义的符号表示：平面内到两个定点F1，F2的距离之和_________（大于
5、F1F2
6、）的点的集合叫作椭圆.这两个_____叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的_____.等于常数定点F1，F2焦距2a>2c>0时，为椭圆.思考3：椭圆定义中为什么要求常数大于
7、F1F2
8、(即2a>2c)？提示：当
9、MF1
10、+
11、MF2
12、=2a<
13、F1F2
14、时,动点M的轨迹不存在;当
15、MF
16、1
17、+
18、MF2
19、=2a=
20、F1F2
21、时,动点M的轨迹为以F1，F2为端点的线段；只有当2a>
22、F1F2
23、时动点M的轨迹才是椭圆.探究点2椭圆的标准方程如图，作直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线,设P为椭圆上一点，根据椭圆的定义，P关于这两条直线的对称点也都在椭圆上，即这两条直线是椭圆的对称轴.以直线F1F2为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,则焦点F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0).椭圆和x轴，y轴分别有两个交点A1，A2和B1，B2，如图，根据椭圆的定义和椭圆的对称性,且
24、所以即A1A2B2B1因为且所以=a有记得A1(-a,0),A2(a,0),B1(-b,0),B2(b,0)设P（x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆的定义，椭圆上的点P满足因为所以两边平方、整理，得上式两边平方、整理，得即两边同除以a2b2得这说明椭圆上的点的坐标满足以上方程.我们还可以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上.抽象概括：椭圆上任意一点的坐标都是方程的解；都在椭圆上.以方程的解为坐标的点我们将方程叫作椭圆的标准方程，焦点坐标是如果椭圆的焦点在y轴上，如图，其焦点坐标为用同样的方法可以推出它的标准方程为
25、其中yOxF1F2M(0,-c)(0,c)思考交流OxyF1F2M(-c,0)(c,0)提示：在椭圆的方程中，由可见，当a为定值时，随c的增大，b减小，椭圆变扁；随c的减小，b增大，椭圆越接近于圆.即随着焦距2c的增大，椭圆变扁；焦距减小，椭圆越接近于圆.1.当椭圆定义中的常数2a为定值时，焦距2c的变化与椭圆形状的变化有怎样的关系？2.回顾椭圆方程的求解过程，有哪些主要步骤？第一步：根据椭圆的对称性建立坐标系；提示：第二步：设出椭圆上任意一点；第三步：把椭圆定义用等式表示；第四步：把等式中的距离用坐标表示；第五步
26、：把得到的方程化简；第六步：说明椭圆上点的坐标适合所求方程，以方程的解为坐标的点都在椭圆上.例1已知B,C是两个定点，且的周长等于22，求顶点A满足的一个轨迹方程.解：由已知得由定义可知点A的轨迹是一个椭圆，且即所以如图，建立平面直角坐标系，使x轴经过B,C两点，原点O为BC的中点.当点A在直线BC上，即y=0时，A，B，C三点不能构成三角形，因此点A满足的
