线性代数网络教学阶段测试五.doc

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1、一、单项选择题（共20题）1.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（　）【正确答案】C【您的答案】A　　【答案解析】2.n元实二次型正定的充分必要条件是（　）A.该二次型的秩＝nB.该二次型的负惯性指数＝nC.该二次型的正惯性指数＝它的秩D.该二次型的正惯性指数＝n【正确答案】D【您的答案】A　　【答案解析】二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数＝n3.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是(　)A.A-1正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于nD.A合同于单位阵【正确答案】B【您的答案】A　　【答案解析】A-1正定表明存

2、在可逆矩阵C使CTA-1C=In，两边求逆得到C-1A（CT）-1=C-1A（C-1）T=In即A合同于In，A正定，因此不应选A。C是A正定的定义，也不是正确的选择。D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。4.矩阵的特征值为(　)A.1，1　　　B.2，2　　　C.1，2　　　D.0，0【正确答案】A【您的答案】A　　【答案正确】【答案解析】得到特征值是1，1。5.已知相似，则有（　）【正确答案】D【您的答案】A　　【答案解析】6.设矩阵

3、相似.则下列结论错误的是（　）【正确答案】B【您的答案】A　　【答案解析】根据相似矩阵的性质判断B错误.7.设A为3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（　）【正确答案】B【您的答案】A　　【答案解析】8.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则

4、A-4E

5、=(　)A.2　　　　　　　B.-6C.6　　　　　　D.24【正确答案】B【您的答案】A　　【答案解析】∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3∴

6、λE-A

7、展开式含有三个因子乘积：（λ-1）（λ-2）（λ-3）∵

8、λE-A

9、展开式λ3项系数为1∴

10、λE-A

11、=（λ-1）（λ-2）（λ-

12、3）∵A为3阶矩阵∴

13、A-λE

14、=（-1）3

15、λE-A

16、=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）将4代入上式得到-6。9.设（　）A.线性无关B.线性相关C.对应分量成比例D.可能有零向量【正确答案】A【您的答案】A　　【答案正确】【答案解析】A属于不同特征值的特征向量线性无关.10.A为三阶矩阵，为它的三个特征值.其对应的特征向量为.设，则下列等式错误的是（　）【正确答案】C【您的答案】A　　【答案解析】11.设A，B为正定阵，则(　)A.AB，A+B都正定B.AB正定，A+B非正定C.AB非正定，A+B正定D.AB不一定正定，

17、A+B正定【正确答案】D【您的答案】A　　【答案解析】∵A、B正定∴对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX＞0；同时XTBX＞0。因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是对称阵。12.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论(　)不成立。A.A与B相似B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B有相同的特征向量【正确答案】D【您的答案】A　　【答案解析】∵C是正交阵，所以CT=C-1,B=C-1AC，因此A与B相似，A对。C是正交阵

18、C

19、不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与

20、B等价，B对。两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。13.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是（　）【正确答案】D【您的答案】A　　【答案解析】因为实对称矩阵的特征值都是实数，故A，C都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故B也不正确；应用排除法，知答案为D.14.下列命题错误的是(　)A.属于不同特征值的特征向量必线性无关B.属于同一特征值的特征向量必线性相关C.相似

21、矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似【正确答案】B【您的答案】A　　【答案解析】属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是1，但它有n个线性无关的特征向量，因此应选择B。15.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B(　)A.一定合同B.一定相似C.即相似又合同D.即不相似也不合同【正确答案】A【您的答案】A　　【答案正确】【答案解析】f=xTAx=（Py）TA（Py）=yT（PTAP）y=yTBy，即B=PTAP，所以矩阵A与B一定合同。只有当P是正交矩阵时，由于P

22、T=P-1，所以A与B即相似又合同。16.二次型的矩阵为（　）【正确答案】C【您的答案】A　　【答案解析】17.设【正确答案】C【您的答案】A　　【答案解析】主对角线元素对应x1，x2，x3平方项系数：1，1，1。a13和a31系数的