第-07-讲-函数的单调性.doc

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1、第7讲函数的单调性（第课时）神经网络准确记忆！函数的单调性重点难点好好把握！重点：1．函数单调性的定义；2．证明函数的单调性；3．符合函数的单调性判断。难点：1．符合函数的单调性判断；2．含参函数的单调性讨论。，判断一些简单方法考纲要求注意紧扣！1．了解函数的单调性的概念；2．掌握简单函数单调性的证明和判断方法；3．应用函数的单调性比较大小，求值域。命题预测仅供参考！1．函数的单调性每年必考，尤其是函数单调性的证明和应用；2．用导数来判断函数的单调性是命题热点。考点热点一定掌握！1．函数单调性的定义⑴区

2、间：、为两实数，且，则满足的所有实数的集合称为闭区间，记为[，]；满足的所有实数的集合称为开区间，记为（，）；满足的所有实数的集合称为左半闭区间，记为；满足的所有实数的集合称为右半闭区间，记为；实数集记为（，）；满足的所有实数的集合记为；满足的所有实数的集合记为；满足的所有实数的集合记为；满足的所有实数的集合记为。例．函数的图像是(A)(B)(C)(D)分析：令得，则可知区间分界点为1，∴，故应选(D)。⑵函数的单调性定义用表示一个区间，若对任意的，，且，都有，则称函数在上是增函数；反之，若都有，则称函

3、数在上是减函数。这时称在上是单调函数，称为的单调区间。注意：判别函数的增减，总是先指定区间，总是看增加时，的增减情况。（，）内单调增（，）内单调减⑶理解函数单调性注意下列四点：①定义中的、具有任意性，不能用特殊值代替；②一个函数在不同的区间上可能有不同的单调性；③若函数在区间（，）内为增（减）函数，则由（）；④函数在两个区间上是增（减）函数，但该函数在此两个区间的并集上不一定是增（减）函数。例如在和内分别为减函数，但在不是减函数。例．下列命题中错误的是(A)偶函数在它的整个定义域内一定不是单调函数；(B

4、)奇函数在它的整个定义域内一定是单调函数；(C)若偶函数在区间[，]（）上是增函数，那么在区间[-，-]上是减函数；(D)若奇函数在区间[，]（）上是减函数，那么在区间[-，-]上是减函数。分析：由偶函数奇函数的图像的对称性可知，(A)(C)(D)是正确的。对于(B)，我们举一反例，它是奇函数。如图，它在上和上都是减函数，但在整个定义域内不是单调减的，中间又有上升。2．判定函数单调性的常用方法⑴利用定义例．证明函数在区间内是减函数。证明：设、，且，∵，，∴，∴，故在区间内是减函数。点评：要证明函数在区间

5、（，）内是增（减）函数，只要证明对于（，）内的任意，都有（）就可以了。⑵利用函数的图像例．求函数的单调区间，并确定函数在每一单调区间上的单调性。-2-22yxo解：∵题给函数可以写成，画出其图像如右图，由图像可知，在和上为减函数，在和上为增函数。⑶利用已知函数的单调性例．求函数的单调区间，并确定函数在每一单调区间上的单调性。解：设，∵在区间上为减函数，在区间上为增函数，又在区间上为减函数，∴的单调增区间为，单调减区间为。⑷利用函数的下列性质①若、都为增（减）函数，则+在其公共定义域内也为增（减）函数；②

6、若为增函数，若为减函数，则-在其公共定义域内为增函数；③奇（偶）函数在两个对称的区间上具有相同（相反）的单调性；④互为反函数的两个函数在对应的两个区间上具有相同的单调性。3．复合函数的单调性对于复合函数，若在区间（，）内是单调增（减）函数，且在区间（，）（或（，））是单调函数，那么函数在区间（，）内的单调性由以下表格决定，实施该法则时首先要考虑函数的定义域，因为求单调区间必须在定义域内进行。增增增增减减减增减减减增此规律可概括为“同增异减”，即里外函数的增减性相同时，复合函数为增函数，反之则为减函数。注

7、意，有些复合函数在（，）内是单调函数，但在区间[，]或[，]上可能有不同的单调性，要分别讨论。例．已知，若，试确定的单调区间及单调性。解：设，则，当时，为增函数，且，此时为增函数；当时，为增函数，且，此时为减函数；当时，为减函数，且，此时为增函数；当时，为减函数，且，此时为减函数。o-222yxo-222yx综上所述，的单调增区间为和，单调减区间为和。如下图：点评：如果复合函数不是抽象函数，例如函数则可以利用已知函数的单调性来求解。4．含参函数的单调性因为函数中的参数会影响函数值的增减变化，所以必须讨论

8、。例．讨论函数（）的单调性。解：的定义域为,定义域关于原点对称，又，所以为奇函数；先讨论函数在内的单调性，设，则，∵当时，，∴<,∴在内为减函数；当时，，∴>,∴在内为增函数；又因为为奇函数，∴在、内分别为增函数，在、、内分别为减函数。5．用导数判定函数的单调性定义：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某一曲间内恒有，则为常函数。有些复合函数和含参函数的单调性，如果用导数来进行判断会很简单。例．已知，，则