第3讲函数的单调性(教案)

第3讲函数的单调性(教案)

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1、函数的单调性教学目标:掌握函数单调性(高考要求B)教学重难点:掌握函数单调性的定义及证明方法,并会用函数单调性解决有关综合性问题。教学过程:一、知识要点:1、函数单调性定义:对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意xpx2ED,当x/x2时,都有f(xI)f(X2),则称f(x)是区间D上的减函数,D叫f(x)单调递减区间.2、函数单调性的判断方法:(1)定义法。步骤是:①任取X],x2eD,且x,

2、(x°)或作商/輿(产(州)工0),并变形,③判定f(Xj—f(xj的符号,或比较卑2与1的大小,④根据定义作出结论。(2)图象法;借助图象直观判断.(3)复合函数单调性判断方法:设y==若内外两函数的单调性相同,则『=/[§(%)]在x的区间D内单调递增,若内外两函数的单调性相反时,则y=f[g(x)~在X的区间D内单调递减。3、常见结论增函数/(x)+增函数g(x)是增函数;减函数f(x)+减函数g(x)是减函数;增函数/(X)-减函数g(x)是增函数;减函数/(x)-增函数g(x)是减函数。若f(x)为减函数,贝Ij-

3、f(x)为增函数;若f(x)>0且为增函数,则函数丄在英定义域内为减函数;/(-V)二、基础练习:1.写出下列函数的单调区间(1)y-kx+h,(2)y=—,(3)y=ax1-^-bx+c.X2.已知f(x)=(—疋+3P+4)x+2£—1在R上是增函数,则k的取值范围.(-1,4)3.函数/(x)=x2+(771-1)x4-2在(—00,4]上是减函数,则求m的取值范围.虑-74.已知函数f(x)=x2+2ar+2,%g[-5,5]±是单调函数.a的取值范围是□5.函数/(x)在(0,+-)上是减函数,求/(/—a+i)与/

4、(亍)的大小关系是W三、例题精讲:题型1:单调性的判断:例1.(1)求函数y=-F+2

5、兀

6、+3的单调区间。(图像法)(・8,・1],[0,1]递增,[-1,0],[l,+oo)递减。(1)判断函数/(X)=?士的增减情况。(复合函数法)(・8,0),(0,2)递增,(2,4),(4,+8)递减.题型2:单调性的证明:例2.已知函数f(x)唧+□(3>1).证明:函数f(x)在(-1,+呵上为增函数.(定义法)兀+12变式:•已知函数/(x)在定义域M内为减函数,且/(x)>0,则g(兀)=1+亍丁在M内为增函数。题型3:单调

7、性的应用:nv-—I—1例3.己知函数f(x)=[■门■在区间(一2,+8)上单调递增,求a的取值范围。a>l/2变式:讨论函数f(x)=x+-(a>Q)的单调性;(定义法)例4.(2008-青岛调研)己知f(x)=—(x^a).x-a(1)若a=-2,试证f(x)在(-oo,-2)内单调递增;(2)若a>0Hf(x)在(1,+8)内单调递减,求a的取值范围.(1)证明任设X!0,x1-x2<0,/.f(Xi)

8、x2),.f(x)在(-汽-2)内单调递增.(2)解任设IVX1VX2,则f(XJ-f(X2)=———心一心)(兀一4)(兀一4)va>0,X2-Xi>0,・:要使f(xi)-f(x2)>o,只需(Xi-a)(x2-a)>0恒成立,「.aWi.综上所述知ovaWi.4:抽象函数的单调性:例5.己知f(x)在定义域(0,+oo)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=l,试解不等式f(x)+f(x-8)W2.解根据题意,由f(3)=l,得f(9)=f(3)+f(3)=2.又f(X)+f(X-8)=f[x(X

9、-8)],故f[x(X-8)]Wf(9).x>0,•・・f(x)在定义域(0,+8)上为增函数,・•・—8>o,解得80时,f(x)v0,f⑴二-扌.(1)判断并证明f(x)在R上的单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的最值.解(1)f(x)在R上是单调递减函数证明如下:令x=y=O,f(O)=O,令

10、x=-y可得:f(-x)=-f(x),在R上任取Xi0,/.f(X2)-f(X1)=f(X2)+f(-X1)=f(X2-X1).又Vx>0时,f(x)<0,・・・f(X2-xj<0,即f(X2)vf(xj・由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.(2)・

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