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1、1、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数2、求8251和6105的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为7辗转相除法与更相减损术讲义辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的
2、公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。为什么呢？思考：从上述的过程你体会到了什么？完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6
3、105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0)第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1)第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数
4、r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2)……依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数。辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？辗转相除除法的程序框图与程序否是《九章
5、算术》——更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。例3用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，
6、98和63的最大公约数等于7练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(12)第一步,给定两个正整数,不妨设m>n,第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为m,n第三步,d=m-n第四步,判断”d<>0”是否成立,若是,则将n,d中较大者记为m,较小的记为n,返回第三步;否则,2^k*d(k是约简整数的2的个数)为所求的最大公约数.更相减损术算法开始输m,n(m>n)K=0m,n为偶数?K=k+1m=m/2n=n/2d=m-nd<>n?d>n?是否m=nn=dd=m-nm=d是输出2
7、^kd结束是否否INPUT“m,n=“;m,nIFmnIFd>nthenm=dELSEm=nn=dEndifd=m-nWendd=2^k＊dPRINTdEnd辗转相除法与更相减损术的比较:（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相
8、除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.
