样本平均数的方差的推导.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯样本平均数的方差的推导：假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本x1,,xn，则有E(xi)X,22xiX即每一个样本单位都是与总体同分布的。在此基础上，证明样本平均数以总体平均数为期望值。E(x)E(x1x2xn)n1E(x1x2xn)n1E(x1)E(x2)E(xn)n1(XXX)Xn接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。在此，需要注意方差的计算公式为：2E(XE(X))2X以下需要反复使用这一定义：1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2E(xE(x))2xE(x1x2xnX)2n1E((xxx)nX)2n212n12n2E(x1X)(x2X)(xnX)12E(x1X)2(x2X)2(xnX)2(xiX)(xjX)nij1E(x1X)2E(x2X)2E(xnX)2E(xiX)(xjX)n2ij12n22nn在证明中，一个关键的步骤是E(xiX)(xjX)0，其原ij因在于这一项事实上是xi与xj的协方差。由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差2Nn小于0。此时样本均值的方差为2XxN1n样本方差的期望：证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分

3、析一下样本方差的情况。n(xix)2先构造一个统计量为Si1，我们来求它的期望。n2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯根据方差的简捷计算公式：2X22XX，可得11nE(S)Exi2nx2E(xi)nE(x2)nn其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：2)2(E(xi))222E(xixiXX；22222)(E(x))XXE(xxn原式化为12E(S)n(X2X2)n(XX2)nn2(X2X2)(XX2)nn1n2X等式的两端同除以右侧的系数项，得到nE(S)2XnnnSn(xix)2(xix)2令Si1i11n1n1nn则有

4、E(S)2X3