样本平均数的方差的推导.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯样本平均数的方差的推导：假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本x,,x，则有1n22E(xi)X,xXi即每一个样本单位都是与总体同分布的。在此基础上，证明样本平均数以总体平均数为期望值。x1x2xnE(x)E()n1E(x1x2xn)n1E(x1)E(x2)E(xn)n1(XXX)Xn接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。在此，需要注意方差的计算公式为：22E(XE(X))X以下需要反复使用这一定义：1⋯

2、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22xE(xE(x))x1x2xn2E(X)n12E((xxx)nX)212nn122E(x1X)(x2X)(xnX)n12222E(x1X)(x2X)(xnX)(xiX)(xjX)nij12222E(x1X)E(x2X)E(xnX)E(xiX)(xjX)nij212n2nn在证明中，一个关键的步骤是E(xiX)(xjX)0，其原ij因在于这一项事实上是xi与xj的协方差。由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为

3、0。如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差22XNn小于0。此时样本均值的方差为xnN1样本方差的期望：证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。n2(xix)i1先构造一个统计量为S，我们来求它的期望。n2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22X2根据方差的简捷计算公式：XX，可得n12212E(S)ExinxE(xi)nE(x)nn其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：22222E(xi)x(E(xi))XX；i

4、2222X2E(x)x(E(x))Xn原式化为2122X2E(S)n(XX)n(X)nn222X2(XX)(X)nn12Xn等式的两端同除以右侧的系数项，得到n2E(S)Xn1nn22(xix)(xix)nni1i1令SSn1n1nn12则有E(S)X3