xx学年高一数学132《球的体积和表面积》2课件（人教A版必修2）.ppt

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1、1．3.2球的体积和表面积【规律方法】球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．解析：如图截面圆的圆心为O1，半径为O1A，答案：D要点二与球有关的切接问题球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和“外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．例2在半球内有一个内接正方体，试求这

2、个半球的体积与正方体的体积之比．【分析】由题目可获取以下主要信息：①正方体内接于半球，即正方体的四个顶点在半球的球面上，另外四个顶点在半球的底面上；②利用球的轴截面求出球的半径是解题的关键．解答本题时能正确地作出图形很重要．解法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，【规律方法】解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O，且球

3、与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O作球的截面，如图所示，则球心是等腰△ABC的内接圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心．用同样的方法可得以下结论：①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．变式2如图，半圆O的直径为直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D点．将其绕AD所在直线旋

4、转一周，得到一个球与一个圆台．若球的表面积与圆台侧面积的比为3∶4，求球的体积与圆台体积之比．【分析】本题关键是求出球的半径。类比三角形内切圆半径的求法(即分割法)，求出三棱锥内切球半径．【解】如下图，过侧棱PA与球心O作截面PAE，交侧面PBC于PE.答案：B